이 강의의 목표는 현재 상태의 변화율로 시간에 따른 움직임을 읽는 법을 아주 기초부터 이해하는 것입니다.
먼저 오늘의 핵심 식을 봅니다.
dtdx=f(x,t)
이 식을 외우기 전에, 식 안의 말과 기호를 먼저 하나씩 풀어야 합니다.
이번 강에서 새로 등장하는 어휘만 모았습니다. 미분·도함수(12강), 적분·원시함수(14강), 지수함수 ex(4강)는 앞서 본 그대로 씁니다.
| 말 |
뜻 |
| 상태 x |
지금 시스템이 어떤 모습인지 나타내는 값 |
| 시간 t |
변화가 진행되는 기준 |
| 변화율 dx/dt |
상태가 얼마나 빠르게 바뀌는지 나타내는 값 |
| 미분방정식 |
상태와 변화율 사이의 관계식 |
| 초기조건 |
처음 상태를 알려 주는 값 x(0)=x0 |
| 해 |
미분방정식을 만족하는 상태 함수 x(t) |
| 변수분리 |
x항과 t항을 양변으로 갈라 적분하는 풀이법 |
| 수치해법 |
해를 식으로 못 풀 때 조금씩 전진하며 근사하는 방법 |
수학에서 어려운 부분은 계산보다 읽기입니다. 뜻을 모르고 계산하면 공식이 암호처럼 보입니다.
공의 현재 위치와 속도를 알면 잠시 뒤 위치를 예측할 수 있습니다. 미분방정식은 지금 상태가 다음 순간 어떻게 변할지 적는 언어입니다.
- x는 시간에 따라 변하는 상태입니다.
- 왼쪽 dx/dt는 x가 시간에 따라 변하는 속도입니다.
- 오른쪽 f(x,t)는 그 변화율을 정하는 규칙입니다.
- 초기조건이 있어야 실제 움직임 하나가 정해집니다.
즉 핵심 식은 단순히 기호를 나열한 것이 아니라, 무엇을 보고 무엇을 계산할지 알려 주는 문장입니다. 일반 방정식은 "어떤 수 x인가"를 묻지만, 미분방정식은 "어떤 함수 x(t)인가"를 묻습니다.
자연에서 가장 자주 나오는 미분방정식은 "변화율이 현재값에 비례한다"는 것입니다.
dtdx=kx
인구 증가, 이자, 방사성 붕괴, 냉각처럼 지금 양이 많을수록 더 빨리(또는 더 빨리 줄어드는) 상황이 모두 이 형태입니다. 이 식을 변수분리로 단계별로 풀어 봅니다.
1단계. x항과 t항을 양변으로 가릅니다. 양변을 x로 나누고 dt를 곱합니다(x=0 가정).
x1dx=kdt
2단계. 양변을 적분합니다. 왼쪽은 x1의 적분, 오른쪽은 상수 k의 적분입니다(14강 부정적분표).
∫x1dx=∫kdt⇒ln∣x∣=kt+C
3단계. 지수를 씌워 x를 풉니다. 양변을 e의 지수로 올리면
∣x∣=ekt+C=eC⋅ekt
eC는 그냥 어떤 양의 상수이므로 부호까지 합쳐 A=±eC로 두면
x(t)=Aekt
4단계. 초기조건으로 상수를 정합니다. t=0에서 상태가 x0라면, x(0)=Ae0=A=x0. 따라서
x(t)=x0ekt
변화율이 현재값에 비례하면 상태는 지수함수로 움직입니다. k>0이면 지수 증가, k<0이면 지수 감쇠입니다.
문제: dtdx=−x이고 초기조건이 x(0)=5일 때 해를 구하고 곡선을 설명하시오.
풀이:
4절에서 k=−1인 경우입니다. 공식에 그대로 넣으면
x(t)=x0e−t=5e−t
곡선의 모양은 다음과 같습니다.
- t=0에서 x=5로 시작합니다.
- 시간이 지날수록 값이 점점 줄지만, 줄어드는 속도도 함께 느려집니다(dx/dt=−x이므로 x가 작아지면 변화율도 작아집니다).
- t→∞에서 x→0에 한없이 가까워지지만 정확히 0에 닿지는 않습니다.
몇 개 값을 표로 보면 감쇠가 분명해집니다.
| t |
x(t) = 5e^ |
| 0 |
5.000 |
| 1 |
1.839 |
| 2 |
0.677 |
| 3 |
0.249 |
매 단위 시간마다 같은 비율(e−1≈0.368)로 줄어드는 것이 지수감쇠의 특징입니다.
문제: dtdx=0.5x이고 x(0)=100일 때 t=2에서의 값을 구하시오.
풀이:
k=0.5이므로 해는
x(t)=100e0.5t
t=2를 넣으면
x(2)=100e1=100×2.71828=271.83
변화율이 양의 비례라서 상태가 점점 더 빠르게 커집니다. 이것이 복리·인구 폭발의 수학적 모습입니다.
f(x,t)가 복잡하면 4절처럼 깔끔한 식으로 풀리지 않습니다. 이때는 수치해법으로 조금씩 전진하며 해를 근사합니다. 가장 단순한 것이 오일러(Euler) 방법입니다.
아이디어는 12강의 1차 근사입니다. 짧은 시간 Δt 동안은 변화율이 거의 일정하다고 보고, 접선을 따라 한 걸음 나아갑니다.
xn+1=xn+f(xn,tn)Δt
- xn: n번째 시각 tn에서의 상태 추정값
- f(xn,tn): 그 자리에서의 변화율(접선 기울기)
- Δt: 한 걸음의 시간 폭(스텝 크기)
5절의 정답(x(t)=5e−t)이 있는 문제를 오일러 방법으로 근사해, 근사가 얼마나 맞는지 봅니다. x0=5, Δt=0.5, f(x)=−x로 두 걸음 전진합니다.
첫 걸음 (t0=0→t1=0.5):
x1=x0+f(x0)Δt=5+(−5)(0.5)=2.5
둘째 걸음 (t1=0.5→t2=1.0):
x2=x1+f(x1)Δt=2.5+(−2.5)(0.5)=1.25
t=1에서 근사값은 1.25입니다. 정확한 해 5e−1=1.839와는 차이가 있습니다. Δt가 클수록 오차가 커지고, Δt를 잘게 줄일수록 참값에 가까워집니다. 계산을 많이 하는 대가로 정확도를 얻는 것이 수치해법의 기본 거래입니다.
- 상태 x를 정합니다.
- 상태가 어떻게 변하는지 변화율 식 dx/dt=f(x,t)를 씁니다.
- 처음 상태 x(0)=x0를 정합니다.
- 풀 수 있으면 변수분리·적분으로 해 x(t)를 구합니다.
- 못 풀면 오일러 방법으로 짧은 걸음을 반복해 근사합니다.
- 이 과정을 반복해 전체 움직임을 봅니다.
이 순서를 말로 설명할 수 있으면, 공식을 완전히 외우지 않아도 다시 만들어 낼 수 있습니다.
미분방정식은 최근 딥러닝에서 모델 자체를 정의하는 언어로 쓰입니다.
보통 신경망은 층을 하나씩 쌓아 상태를 바꿉니다.
hn+1=hn+g(hn,θ)
이 식을 잘 보면 7절의 오일러 한 걸음과 똑같은 모양입니다(Δt=1인 오일러 스텝). 여기서 걸음 폭을 무한히 잘게 줄이면 층의 쌓임이 연속적인 미분방정식이 됩니다.
dtdh=g(h,t,θ)
이렇게 은닉상태의 변화를 미분방정식으로 정의한 모델이 Neural ODE입니다. 층 수를 고정하는 대신, 검증된 수치 ODE 솔버가 필요한 만큼 걸음을 잡아 상태를 전진시킵니다.
- 연속 정규화 흐름(CNF): 확률분포를 시간에 따라 흐르게 해 복잡한 분포를 만듭니다.
- 확산모델(Diffusion, 36강 예고): 데이터에 잡음을 조금씩 더하고 되돌리는 과정을 미분방정식(SDE/ODE)으로 기술합니다.
- 불규칙 시계열: 관측 간격이 들쭉날쭉한 데이터를, 연속시간 상태로 두고 필요한 시각만 적분해 다룹니다.
한 줄로: 신경망의 층 쌓기를 무한히 잘게 만들면 미분방정식이 되고, 그것을 푸는 일이 곧 모델을 실행하는 일이다.
- 오늘 배운 핵심은 현재 상태의 변화율로 시간에 따른 움직임을 읽는 법입니다.
- 미분방정식은 "어떤 수"가 아니라 "어떤 함수 x(t)"를 묻습니다.
- dx/dt=kx는 변수분리·적분으로 풀면 x(t)=x0ekt가 됩니다.
- k<0이면 지수감쇠, k>0이면 지수증가입니다.
- 초기조건 x(0)=x0가 있어야 해가 하나로 정해집니다.
- 식으로 못 풀면 오일러 방법 xn+1=xn+f(xn,tn)Δt로 근사합니다.
- AI에서는 Neural ODE와 확산모델 같은 연속시간 모델이 미분방정식으로 정의됩니다.
- 핵심 식은 다음과 같습니다.
dtdx=f(x,t)
- 미분방정식은 일반 방정식과 무엇이 다른가?
- 초기조건은 왜 필요한가?
- dx/dt=kx를 변수분리로 풀어 x(t)=x0ekt를 유도할 수 있는가?
- dx/dt=−2x, x(0)=3의 해를 쓸 수 있는가?
- 지수감쇠 곡선이 왜 0에 닿지 않고 가까워지기만 하는지 설명할 수 있는가?
- 오일러 방법의 한 걸음 식이 12강의 1차 근사와 어떻게 같은지 말할 수 있는가?
- Δt를 줄이면 왜 오일러 근사가 더 정확해지는가?
- Neural ODE가 왜 오일러 스텝을 무한히 잘게 만든 것과 같은지 설명할 수 있는가?