이 강의의 목표는 가능한 경우를 세고 원하는 경우의 비율을 확률로 읽는 법을 아주 기초부터 이해하는 것입니다.
먼저 오늘의 핵심 식을 봅니다.
P(A)=nm
이 식을 외우기 전에, 식 안의 말과 기호를 먼저 하나씩 풀어야 합니다.
| 말 |
뜻 |
| 경우의 수 |
가능한 결과의 개수 |
| 사건 |
관심 있는 결과들의 모임 |
| 확률 |
전체 중 원하는 일이 차지하는 비율 |
| 순열 |
순서를 생각해 나열하는 방법 |
| 조합 |
순서를 무시하고 고르는 방법 |
수학에서 어려운 부분은 계산보다 읽기입니다. 뜻을 모르고 계산하면 공식이 암호처럼 보입니다.
주머니에 공 10개가 있고 그중 빨간 공이 3개라면 빨간 공을 뽑을 가능성은 10개 중 3개입니다. 확률은 세기에서 시작합니다.
이제 핵심 식을 기호 하나씩 뜯어 읽어 봅니다.
P(A)=nm
- P(A)는 사건 A가 일어날 확률입니다. P는 확률(probability)의 머리글자입니다.
- n은 전체 경우의 수입니다. 즉 일어날 수 있는 모든 결과의 개수입니다.
- m은 사건 A에 속하는 경우의 수입니다. 즉 우리가 관심 있는 결과의 개수입니다.
- 분수 nm은 전체 중에서 원하는 결과가 차지하는 비율입니다.
예를 들어 주사위 한 개를 던져 짝수가 나오는 사건 A를 봅니다. 주사위 눈은 1,2,3,4,5,6이므로 전체 경우의 수는 n=6입니다. 짝수는 2,4,6의 세 가지이므로 m=3입니다. 따라서
P(A)=nm=63=21
입니다. 이렇게 핵심 식은 기호를 나열한 것이 아니라, 무엇을 세고 무엇으로 나눌지 알려 주는 문장입니다.
단, 이 식은 모든 결과가 똑같이 잘 나올 때만 그대로 씁니다. 주사위나 동전처럼 각 결과가 공평할 때가 그렇습니다.
경우의 수를 셀 때는 순서를 따지는지 아닌지가 중요합니다. 순서를 따져 나열하는 방법의 수를 순열이라고 합니다.
서로 다른 n개 중에서 r개를 골라 순서대로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.
nPr=(n−r)!n!
여기서 n!은 계승(팩토리얼)이며 1부터 n까지 모두 곱한 값입니다.
n!=n×(n−1)×⋯×2×1
예를 들어 서로 다른 카드 5장 중에서 3장을 뽑아 순서대로 한 줄로 놓는 경우의 수는
5P3=(5−3)!5!=2!5!=2120=60
입니다. 첫 자리에 놓을 카드는 5가지, 둘째 자리는 남은 4가지, 셋째 자리는 남은 3가지이므로 5×4×3=60과 같습니다.
순서를 따지지 않고 그저 고르기만 하는 방법의 수를 조합이라고 합니다.
서로 다른 n개 중에서 r개를 고르는 조합의 수는 다음과 같습니다.
nCr=r!(n−r)!n!
조합은 순열을 r!로 나눈 것입니다. 순열에서는 같은 r개를 뽑아도 나열 순서 r!가지를 서로 다르게 셌는데, 조합에서는 그 순서 차이를 하나로 봅니다.
nCr=r!nPr
예를 들어 카드 5장 중에서 순서를 무시하고 3장을 고르는 경우의 수는
5C3=3!2!5!=6×2120=12120=10
입니다. 앞의 순열 60가지를 순서 3!=6가지로 나눈 10과 같습니다.
확률을 구하려면 먼저 경우의 수를 정확히 세야 합니다. 그런데 순서를 따지는지 아닌지를 헷갈리면 같은 문제에서도 답이 달라집니다. 순열과 조합은 이 두 가지 세기를 분명히 구분해 주는 도구입니다.
AI에서도 이 세기는 자주 등장합니다. 여러 특징 중에서 일부를 조합해 고르거나, 데이터에서 표본을 뽑는 경우의 수를 셀 때 조합 계산이 그대로 쓰입니다. 작은 예에서 세는 원리를 익혀 두면 더 큰 문제에서도 같은 구조를 찾을 수 있습니다.
- 전체 경우의 수를 센다.
- 원하는 경우의 수를 센다.
- 원하는 경우를 전체 경우로 나눈다.
- 순서가 중요한지 확인해 순열과 조합 중 무엇을 쓸지 정한다.
- 같은 경우를 중복해서 세지 않는다.
이 순서를 말로 설명할 수 있으면, 공식을 완전히 외우지 않아도 다시 만들어 낼 수 있습니다.
문제: 주사위 두 개를 던질 때 두 눈의 합이 7이 될 확률을 구합니다.
풀이:
주사위 두 개를 던질 때 나오는 모든 결과는 첫째 눈 6가지, 둘째 눈 6가지이므로
n=6×6=36
가지입니다.
합이 7이 되는 경우는 다음과 같습니다.
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
모두 6가지이므로 m=6입니다. 따라서
P(합=7)=nm=366=61
입니다.
문제: 서로 다른 카드 5장에서 순서를 무시하고 2장을 고르는 경우의 수를 구합니다.
풀이:
순서를 무시하므로 조합입니다.
5C2=2!3!5!=2×6120=12120=10
따라서 10가지입니다. 만약 순서를 따진다면 순열
5P2=3!5!=6120=20
으로 20가지가 되어, 조합보다 정확히 2!=2배 많습니다.
- 오늘 배운 핵심은 가능한 경우를 세고 원하는 경우의 비율을 확률로 읽는 법입니다.
- 확률은 P(A)=nm, 즉 원하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값입니다.
- 순열 nPr=(n−r)!n!은 순서를 따져 나열하는 방법의 수입니다.
- 조합 nCr=r!(n−r)!n!은 순서를 무시하고 고르는 방법의 수이며, 순열을 r!로 나눈 값입니다.
- 작은 예시에서 계산 순서를 확인하면 큰 모델에서도 같은 구조를 찾을 수 있습니다.
- 확률 전에 왜 경우의 수를 세어야 하는가?
- 순열과 조합의 차이는 무엇인가?
- 전체 8개 중 원하는 2개라면 확률은 얼마인가?