이 강의는 어떤 식이 언제 참이 되는지 찾는 법을 배우는 강의입니다. 뒤에서 배우는 최적화, 제약조건, 확률의 범위 조건도 모두 여기서 배우는 등식과 부등식의 언어 위에 서 있습니다.
방정식은 저울 문제로 떠올리면 이해가 쉽습니다. 저울 양쪽이 균형을 이루고 있다면, 양쪽에서 같은 무게를 빼거나 같은 무게를 더해도 여전히 균형은 유지됩니다.
부등식은 저울이 기울어진 장면에 더 가깝습니다. 한쪽이 더 무겁다면, 그 차이가 유지되는지, 뒤집히는지를 따지는 문제가 됩니다.
즉 방정식은 "같음"을 지키는 문제이고, 부등식은 "크고 작음의 방향"을 지키는 문제입니다.
먼저 식이 한 숫자를 묻는지, 여러 숫자의 범위를 묻는지 구분해야 합니다.
아래 식은 어떤 값 하나를 찾는 문제입니다.
반면 아래 식은 어떤 범위의 값을 찾는 문제입니다.
첫 번째는 "등호가 참이 되는 한 값"을 찾는 방정식이고, 두 번째는 "조건을 만족하는 모든 값"을 찾는 부등식입니다. 이 차이를 먼저 이해해야 해가 하나인지, 여러 개인지 자연스럽게 읽을 수 있습니다.
방정식의 해는 식에 실제로 넣었을 때 등식이 참이 되게 만드는 값입니다.
예를 들어 아래 방정식을 보겠습니다.
만약 x = 4를 넣으면,
이 되어 왼쪽과 오른쪽이 같습니다. 따라서 x = 4는 이 방정식의 해입니다.
반대로 x = 3을 넣으면,
이므로 11과 같지 않습니다. 따라서 x = 3은 해가 아닙니다.
중요한 점은 방정식을 푼다는 것이 "보기 좋은 모양으로 바꾸는 것"이 아니라, "식을 참으로 만드는 값을 찾아내는 것"이라는 점입니다.
방정식을 풀 때 가장 자주 쓰는 원리는 아래 한 문장으로 정리할 수 있습니다.
같은 것끼리 같은 변화를 주면 같음은 유지됩니다.
예를 들어 아래가 참이라고 합시다.
양쪽에 같은 수 c를 더하면,
가 됩니다. 양쪽에서 같은 수 c를 빼도 마찬가지입니다.
c가 0이 아니라면 양쪽을 같은 수 c로 나누어도 됩니다.
이 원리 덕분에 방정식을 점점 단순한 모양으로 바꿀 수 있습니다. 이항도 사실은 특별한 기술이 아니라, 양변에 같은 연산을 한 결과를 더 짧게 쓰는 말일 뿐입니다.
일차방정식은 미지수가 한 번만 나오는 방정식입니다. 목표는 x를 홀로 남기는 것입니다.
아래 식을 보겠습니다.
먼저 양변에서 3을 빼서 x가 들어 있는 항만 남깁니다.
그다음 양변을 2로 나눕니다.
이 과정에서 중요한 것은 "왼쪽에서만 무언가를 없애는 것"이 아니라, "양변에 같은 연산을 하면서 등식의 뜻을 지키는 것"입니다.
학생들이 자주 배우는 표현 중 하나가 "넘기면 부호가 바뀐다"입니다. 이 말은 계산 요령으로는 편하지만, 원리를 가리기 쉽습니다.
예를 들어 아래 식에서,
3을 오른쪽으로 "넘긴다"고 말하기보다, 양변에서 3을 뺀다고 이해하는 편이 정확합니다.
즉 부호가 바뀐 것처럼 보이는 이유는 실제로 반대쪽에 같은 수를 더하거나 빼는 연산을 했기 때문입니다. 이 원리를 이해하면 식이 길어져도 흔들리지 않습니다.
모든 방정식이 일차방정식은 아닙니다. 예를 들어 아래처럼 제곱이 들어간 식도 있습니다.
이 식은 인수분해가 되면 훨씬 읽기 쉬워집니다.
곱해서 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 합니다. 따라서
또는
가 되어 해는 다음 두 개입니다.
이 예시는 해가 하나만 있는 것이 아니라 여러 개일 수도 있다는 사실을 보여 줍니다.
부등식은 어떤 한 값만 찾는 문제가 아니라, 조건을 만족하는 모든 값을 찾는 문제입니다.
예를 들어 아래 부등식을 보겠습니다.
양변에 2를 더하면,
양변을 3으로 나누면,
이 말은 답이 4 하나라는 뜻이 아닙니다. 3보다 큰 모든 수가 답이라는 뜻입니다. 그래서 부등식의 답은 보통 수직선의 범위나 구간으로 읽습니다.
이 부분은 암기로 넘기면 뒤에서 계속 흔들립니다. 방향이 왜 바뀌는지 짧게라도 이해해야 합니다.
아래 부등식을 보겠습니다.
양쪽에 -1을 곱하면,
가 됩니다. 왜냐하면 수직선에서 음수를 곱하는 것은 방향을 뒤집는 효과를 내기 때문입니다. 큰 수와 작은 수의 위치가 서로 뒤집혀, 부등호 방향도 반대로 바뀝니다.
따라서 아래처럼 음수로 나누거나 곱할 때는 항상 부등호 방향을 바꾸어야 합니다.
양변을 -2로 나누면,
가 됩니다.
부등식은 단지 중등수학 한 단원에서 끝나지 않습니다. AI 수학에서도 조건을 거는 문장 대부분이 부등식입니다.
확률 p는 반드시 아래 조건을 만족해야 합니다.
학습률 \eta는 보통 양수라는 조건을 둡니다.
즉 부등식은 "허용되는 범위"를 말하는 언어입니다. 이 감각이 있어야 뒤에서 모델이 만족해야 할 조건을 자연스럽게 읽을 수 있습니다.
풀이: 양변에서 3을 빼면 다음과 같다.
양변을 2로 나누면,
해설: 3을 오른쪽으로 넘긴다고 외우기보다, 양변에서 같은 수를 뺀다고 이해해야 식이 길어져도 흔들리지 않는다.
풀이: 먼저 인수분해한다.
곱이 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 하므로,
해설: 이차방정식은 해가 하나만 있는 것이 아니라 여러 개일 수 있다. 식의 구조를 먼저 보는 습관이 중요하다.
풀이: 양변에 2를 더하면,
양변을 3으로 나누면,
해설: 답은 3 하나가 아니라 3보다 큰 모든 수다. 부등식의 해는 범위로 읽어야 한다.
풀이: 양변을 -2로 나누면 부등호 방향이 바뀐다.
해설: 음수를 곱하거나 나누면 수직선의 방향이 뒤집히기 때문에, 부등호도 함께 뒤집어야 한다.
p에 대해 아래 조건이 왜 필요한지 설명하라.