확률을 배우기 전에 먼저 해야 할 일은 무엇이 가능한 결과인가를 분명히 하고, 그 결과들을 빠짐없이 세는 것입니다. 조합론은 가능한 경우를 세는 언어이고, 확률은 그 경우들 중 관심 있는 경우가 얼마나 큰 비율을 차지하는지 읽는 언어입니다. 그래서 확률은 셈에서 시작합니다.
유리한 경우 / 전체 경우로 시작할 수 있는가?확률은 무작정 공식부터 외우는 과목이 아닙니다. 먼저 무엇이 가능한 결과인가를 분명히 해야 합니다. 이 전체 가능한 결과들의 집합을 표본공간이라고 합니다.
예를 들어 주사위를 한 번 던지면 표본공간은
입니다.
여기서 짝수가 나온다는 사건은
입니다.
즉 확률 문제는 먼저 전체 가능한 결과를 정하고, 그 안에서 관심 있는 결과들이 무엇인지 표시하는 일부터 시작합니다.
이제 그 결과들을 세어야 합니다. 가장 기본 원리는 곱의 법칙입니다. 어떤 과정이 여러 단계로 이루어져 있고,
첫 단계가
가지이고, 둘째 단계가
가지라면,
라면 전체 경우는
가지입니다.
예를 들어 상의가 3벌, 하의가 2벌이면 옷차림은
가지입니다. 각 단계의 선택이 차례로 붙기 때문에 곱합니다.
하지만 셈은 항상 같은 방식이 아닙니다. 순서가 중요한지 아닌지를 먼저 판단해야 합니다.
예를 들어 학생 5명 중 회장과 부회장을 뽑는다면, 같은 두 사람이라도 누가 회장이고 누가 부회장인지에 따라 결과가 달라집니다. 이런 문제는 순서를 고려하는 문제입니다. 이때는 순열을 씁니다.
반대로 학생 5명 중 2명으로 팀을 만든다면, A와 B를 뽑은 것과 B와 A를 뽑은 것은 같은 팀입니다. 이런 문제는 순서를 무시하는 문제입니다. 이때는 조합을 씁니다.
순열과 조합의 차이는 공식을 외우는 데 있지 않습니다. 이 문제에서 순서가 결과를 바꾸는가를 묻는 데 있습니다.
이제 확률로 넘어갑니다. 모든 결과가 같은 가능성을 가진다고 가정하면, 사건
의 확률은
입니다.
즉 확률은 비율입니다. 전체 중에서 원하는 경우가 차지하는 몫입니다.
예를 들어 주사위를 한 번 던져 짝수가 나올 확률은
입니다. 전체 6가지 중 짝수 사건이 3가지이기 때문입니다.
확률 계산을 쉽게 만들어 주는 중요한 도구가 여사건입니다. 어떤 사건
가 일어나지 않는 사건을
라고 하면,
입니다.
예를 들어 적어도 한 번 성공 같은 문제는 직접 세기보다 한 번도 성공하지 않음을 먼저 세고 1에서 빼는 것이 더 쉬운 경우가 많습니다.
또 두 사건
중 하나라도 일어나는 사건은
라고 쓰고, 겹치는 부분이 없으면
입니다. 즉 사건을 집합처럼 생각하면 확률 계산 구조가 더 분명해집니다.
결국 조합론과 확률의 출발점은 같습니다. 먼저 가능한 결과들을 정확히 정하고, 그 결과를 빠짐없이 세고, 관심 있는 경우가 전체 중 얼마만큼인지 비율로 읽는 것입니다.
풀이: 자리가 다르므로 순서를 고려한다.
해설: 같은 두 사람이어도 역할 배치가 달라지면 다른 결과다. 그래서 순열이다.
풀이: 팀원만 중요하고 순서는 중요하지 않다.
해설: 같은 두 사람은 나열 순서가 달라도 같은 팀이므로 조합이다.
풀이: 전체 경우는 6가지이고, 유리한 경우는
의 3가지다.
해설: 확률은 결국 전체 중에서 유리한 경우가 차지하는 비율이다.
순서가 결과를 바꾸는가라는 질문으로 구분할 수 있는가?을 언제 쓰면 계산이 쉬워지는지 말할 수 있는가?