이 단원은 S3의 다섯 번째 단원이며 54강부터 57강까지를 맡습니다. 04단원이 연속적으로 퍼져 있는 양을 더했다면, 이 단원은 떨어져 있는 항을 무한히 많이 더합니다.
두 단원의 구조가 놀랄 만큼 닮았습니다. 54강의 수렴판정이 53강의 p-판정과 비교판정법을 거의 그대로 옮겨 쓰고, 실제로 적분판정법이 둘을 직접 잇습니다. 조화급수가 발산하는 것과 ∫1∞xdx가 발산하는 것은 같은 사실의 두 얼굴입니다.
그런데 이 단원의 진짜 목적지는 따로 있습니다. 항에 변수를 넣어 급수를 함수로 만들고, 거꾸로 어떤 함수든 그것을 나타내는 급수를 찾는 것입니다. 그러고 나면 함수를 다루는 방식이 바뀝니다.
함수가 하나의 덩어리가 아니라 계수의 수열이 됩니다.
미분과 적분이 계수의 이동이 되고, 곱셈이 계수의 합성곱이 되며, 초등함수로 적분되지 않던 것들이 항별 적분으로 계산됩니다. 49강 심화 3에서 손대지 못한 e−x2의 적분이 56강에서 해결되고, 47강 심화 1에서 미룬 뉴턴법의 이차 수렴이 57강에서 완성됩니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에서 특별히 주의할 것이 있습니다. 무한합에서는 유한합의 상식이 깨집니다.
| 유한합에서 |
무한합에서 |
| 순서를 바꿔도 값이 같습니다 |
조건수렴이면 값이 달라집니다(54강) |
| 항별 미분·적분이 당연합니다 |
수렴구간 내부에서만 허용됩니다(55강) |
| 다항식은 자기 자신입니다 |
급수가 원함수와 다를 수 있습니다(56강) |
세 강의에서 각각 반례가 나오며, 그 반례들이 이 단원에서 가장 중요한 내용입니다.
계산 연습도 소홀히 할 수 없습니다. 판정 도구가 여럿이라 어느 것을 쓸지 고르는 판단이 먼저이고, 그 판단은 문제를 많이 풀어야 붙습니다.
- 이 단원은 54,55,56,57강 순서로 읽어야 합니다.
- 53강의 p-판정과 비교판정법이 54강에서 급수로 옮겨집니다.
- 33강의 단조수렴정리가 54강 비교판정과 적분판정의 근거입니다.
- 31강의 망원합이 54강의 망원급수와 51강 심화 5의 부분합에 쓰입니다.
- 18강의 등비수열 합이 54강 등비급수와 55강 아벨 보조정리의 재료입니다.
- 45강의 성장 위계가 56강과 57강의 수렴 증명에서 결정적입니다.
- 41강의 고계도함수가 56강 테일러 계수의 전제입니다.
- 42강의 롤의 정리와 평균값 정리가 57강 나머지항 증명의 뼈대입니다.
- 51강 심화 3의 적분형 나머지가 57강 심화 2에서 다시 나옵니다.
- 무한급수와 수렴판정
- 멱급수와 수렴반경
- 테일러 급수
- 테일러 근사와 오차 평가
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- 무한급수와 수렴판정
부분합의 극한으로 급수를 정의하고 등비급수와 망원급수의 합을 구합니다. 적분판정법으로 53강의 결과를 옮겨 오고, 항이 0으로 가는 것이 충분조건이 아님을 조화급수로 못 박으며, 조건수렴 급수는 재배열하면 값이 달라짐을 리만 정리로 확인합니다.
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- 멱급수와 수렴반경
항에 변수를 넣어 급수를 함수로 만듭니다. 아벨 보조정리로 수렴 집합이 구간임을 보이고 수렴반경을 계산하며, 끝점을 따로 조사합니다. 항별 미분과 적분으로 새 급수를 만들고, 수렴반경이 복소평면의 특이점까지의 거리임을 밝힙니다.
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- 테일러 급수
방향을 뒤집어 함수에서 급수를 찾습니다. 계수가 고계도함수로 결정되고 유일함을 보이며, 기본 함수들의 급수를 세웁니다. C∞인데 해석적이 아닌 반례를 제시하고, 급수로 적분과 극한을 계산해 04단원의 빚을 갚습니다.
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- 테일러 근사와 오차 평가
유한한 항까지 썼을 때의 오차를 라그랑주 나머지로 평가합니다. 필요한 차수를 미리 정하고 급수의 수렴을 나머지로 증명하며, 47강에서 미룬 뉴턴법의 이차 수렴을 완성합니다. 절단 오차와 반올림 오차를 구별해 실전의 함정을 다룹니다.
- 급수를 만나면 항의 극한부터 확인했는가?
- an→0을 수렴의 근거로 잘못 쓰지 않았는가?
- 판정 도구를 항의 모양에 맞게 골랐는가?
- 비판정이나 근판정에서 L=1이 나왔을 때 다른 방법으로 넘어갔는가?
- 교대급수를 절대수렴이라고 단정하지 않았는가?
- 수렴반경을 구한 뒤 끝점을 따로 조사했는가?
- 항별 미분·적분을 수렴구간 내부에서만 썼는가?
- 치환한 뒤 수렴 조건도 함께 옮겼는가?
- 테일러 급수를 쓰기 전에 원함수와 같은지 확인했는가?
- 근사의 오차 상한을 실제로 계산했는가?
- 상쇄가 심한 계산을 다른 방식으로 바꿨는가?
- 급수의 수렴과 발산을 여러 판정으로 가릴 수 있습니다.
- 멱급수의 수렴반경과 수렴구간을 정확히 구할 수 있습니다.
- 아는 급수를 조합해 새 급수를 빠르게 만들 수 있습니다.
- 함수를 테일러 급수로 적고 그것이 원함수와 같은지 판정할 수 있습니다.
- 근사의 오차를 평가하고 필요한 차수를 미리 정할 수 있습니다.
- 초등 원시함수가 없는 적분을 급수로 계산할 수 있습니다.
58강부터 시작하는 06단원 복소지수와 푸리에는 이 단원의 관점을 복소수로 확장합니다. 56강 심화 3에서 ex의 급수에 ix를 넣어 형식적으로 계산한 eix=cosx+isinx가 58강에서 정식 정리가 되며, 51강 심화 4에서 예고한 ∫eaxsinbxdx의 분모 a2+b2이 그때 설명됩니다.
그리고 59강에서 분해의 방식이 하나 더 늘어납니다. 테일러가 함수를 거듭제곱으로 분해했다면 푸리에는 진동으로 분해합니다. 두 분해가 각각 어디에 맞는지가 06단원의 주제이며, 그 도구가 143강의 중심극한정리부터 410강의 스펙트로그램까지 쓰입니다.