이 단원은 S4의 두 번째 단원이며 66강부터 70강까지를 맡습니다. 여러 방정식을 한꺼번에 다루는 언어를 세우고, 그것을 푸는 절차와 해의 구조와 되돌리기의 조건을 밝힙니다.
01단원에서 평면 하나를 일차방정식 하나로 적었습니다. 평면이 여럿이면 그것들이 만나는 곳을 찾아야 하고, 그것이 연립일차방정식입니다.
이 단원이 하는 일은 두 가지입니다.
첫째, 행렬을 변환으로 읽습니다. 행렬을 숫자가 든 표로 보면 계산 규칙만 남지만, 공간을 옮기는 사상으로 보면 곱셈이 왜 그런 모양인지, 왜 교환법칙이 성립하지 않는지, 왜 어떤 행렬은 되돌릴 수 없는지가 모두 하나로 설명됩니다.
둘째, 절차를 세웁니다. 요령이 아니라 생각하지 않고 따라가도 답이 나오는 절차여야 하고, 답이 없으면 없다고 알려 주어야 하며, 코드로 옮길 수 있어야 합니다.
| 묻는 것 | 답하는 도구 |
|---|---|
| 어떻게 푸는가 | 가우스 소거법 (67강) |
| 해가 몇 개인가 | 계수 판정 (68강) |
| 해집합이 어떤 모양인가 | 특수해 + 동차해 (68강) |
| 되돌릴 수 있는가 | 역행렬의 존재 조건 (69강) |
| 여러 번 풀려면 | LU 분해 (70강) |
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 앞 단원과 다른 성격이 하나 있습니다. 반례가 자주 나옵니다.
66강에서 실수라면 참인 명제 네 개가 행렬에서는 모두 거짓임을 봅니다. 곱셈은 교환되지 않고, 영이 아닌 두 행렬의 곱이 영이 될 수 있으며, 양변에서 같은 행렬을 지울 수 없고, 제곱이 영행렬인데 자기는 영행렬이 아닌 것이 있습니다.
반례 하나는 그 자체로 완결된 반증이므로, 이 단원에서는 "성립하지 않는다"는 주장을 확인할 때 코드가 특히 유용합니다. 반대로 "언제나 성립한다"는 주장은 아무리 많은 예로도 증명되지 않습니다. 강의마다 이 경계를 명시했습니다.
또 하나 눈여겨볼 것은 같은 질문이 여러 얼굴로 나타난다는 점입니다.
| 질문 | 등장하는 곳 |
|---|---|
| 되돌릴 수 있는가 | 66강 소거, 67강 행 연산, 69강 역행렬 |
| 정보를 잃는가 | 66강 정사영, 68강 영공간, 69강 특이 |
| 계산과 공식은 다르다 | 67강 크라메르, 69강 역행렬, 70강 분해 |
세 줄이 모두 이 단원의 주제이며, 마지막 줄이 실무의 태도를 결정합니다.
71강부터 시작하는 03단원 벡터공간은 관점을 한 단계 끌어올립니다.
지금까지 벡터는 언제나 의 원소였습니다. 그런데 62강에서 뽑아 둔 여덟 공리만 만족하면 다항식도, 함수도, 행렬도 같은 언어로 다룰 수 있습니다. 그러면 이 단원에서 따로 나타난 것들이 하나로 묶입니다.
| 이 단원에서 | 03단원에서 |
|---|---|
| 68강 영공간 | 부분공간의 한 예 |
| 68강 해집합 | 아핀 부분공간 |
| 66강 열들의 생성 | 열공간 |
| 68강 계수 | 일차독립인 열의 최대 개수 |
| 68강 자유변수 개수 | 영공간의 차원 |
그리고 68강 심화 6에서 예고한
이 74강에서 정리로 증명됩니다. 입력 차원이 살아남는 것과 뭉개지는 것으로 갈린다는 뜻이며, 이 과목에서 가장 자주 쓰는 정리입니다.
이 단원의 도구가 뒤에서 어떻게 쓰이는지도 적어 둡니다.
| 강의 | 이어지는 곳 |
|---|---|
| 66 행렬 곱·전치 | 76강 선형변환, 82강 정규방정식 |
| 67 소거·기본행렬 | 78강 행렬식, 90강 수치 안정성 |
| 68 계수·영공간 | 73강 계수, 74강 기본 부분공간 |
| 69 가역 조건 | 78강 행렬식, 84강 고유값 |
| 70 분해 | 80강 QR, 87강 콜레스키, 88강 SVD |