66강부터 70강까지의 내용을 섞어 묻는 48문항입니다. 강의를 모두 읽은 뒤 손으로 풀어야 이 단원이 끝납니다.
푸는 방법. 강의를 다시 보지 않고 먼저 풉니다. 막히면 어느 강의로 돌아가야 하는지 스스로 판단한 뒤 그 강의만 다시 읽습니다. 어디로 돌아가야 할지 모르는 것이 진짜 막힌 것입니다.
통과선은 43문항입니다. 이 단원은 뒤의 모든 단원이 딛고 서는 자리이므로 기준을 높게 둡니다.
| 구하려는 것 | 쓸 도구 | 강의 |
|---|---|---|
| 행렬과 벡터의 곱 | 열의 일차결합 | 66 |
| 두 변환을 이어서 한 결과 | 행렬 곱 | 66 |
| 연립방정식의 해 | 가우스 소거 | 67 |
| 해가 몇 개인가 | 계수 비교 | 68 |
| 해집합 전체 | 특수해 + 동차해 | 68 |
| 되돌릴 수 있는가 | 가역 동치 조건 | 69 |
| 역행렬 자체 | 69 | |
| 상수항이 여러 개 | LU 재사용 | 70 |
| 대칭 양정치 | 콜레스키 | 70 |
| 행렬식 | 피벗의 곱 | 70 |
첫째, 순서입니다. 이고 이며 입니다. 곱이 들어가면 순서가 뒤집힌다고 외워 두십시오.
둘째, 소거입니다. 에서 를 지울 수 없습니다. 가 가역일 때만 됩니다. 영인자가 존재하기 때문입니다.
셋째, 피벗이 인 것과 특이한 것은 다릅니다. 교환하면 되는 경우가 대부분이며, 교환해도 그 열에 뿐일 때만 특이합니다.
문제 1. 을 열의 일차결합으로 계산하세요.
답. 입니다.
문제 2. 가 일 때 의 입력과 출력 차원을 쓰세요.
답. 입력이 차원이고 출력이 차원입니다.
문제 3. 가 이고 가 일 때 의 크기와 의 정의 가능 여부를 쓰세요.
답. 는 이고 는 정의되지 않습니다.
문제 4. 과 그 반대 순서를 모두 계산하세요.
답. 앞은 이고 뒤는 입니다.
문제 5. 의 번째 열을 의 열로 나타내세요.
답. 입니다.
문제 6. 영인자의 예를 하나 들고 그것이 무엇을 무너뜨리는지 쓰세요.
답. 이며 소거법칙을 무너뜨립니다.
문제 7. 이면서 인 행렬을 쓰고 그 이름을 말하세요.
답. 이며 멱영행렬입니다.
문제 8. 을 전치로 나타내세요.
답. 입니다.
문제 9. 가 일 때 와 의 크기와 공통 성질을 쓰세요.
답. 각각 와 이며 둘 다 대칭입니다.
문제 10. 를 이 오른쪽에 붙은 형태로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 11. 이 어떤 변환인지 말하고 넓이 변화를 쓰세요.
답. 전단이며 넓이가 변하지 않습니다.
문제 12. 의 증명 방법을 한 문장으로 쓰세요.
답. 이중합의 순서를 바꾸면 됩니다.
문제 13. 세 가지 행 연산을 쓰고 각각을 되돌리는 연산을 쓰세요.
답. 교환은 자기 자신, 는 , 는 입니다.
문제 14. 배수 연산에서 이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 이면 되돌릴 수 없어 정보를 잃고 해집합이 커지기 때문입니다.
문제 15. 을 소거로 푸세요.
답. 둘째에서 첫째의 배를 빼면 이고 입니다.
문제 16. 의 해를 판정하세요.
답. 둘째 행이 이므로 해가 없습니다.
문제 17. 행사다리꼴과 기약행사다리꼴 중 유일한 것을 쓰고 그 이유의 핵심을 쓰세요.
답. 기약행사다리꼴이며, 피벗 열의 위치가 열들 사이의 일차 관계로 정해지고 행 연산이 그 관계를 바꾸지 않기 때문입니다.
문제 18. 계수를 정의하고 자유변수의 개수를 계수로 쓰세요.
답. 기약행사다리꼴의 피벗 개수이며 자유변수는 개입니다.
문제 19. 해가 존재할 조건과 유일할 조건을 계수로 쓰세요.
답. 이면 존재하고, 그 값이 이면 유일합니다.
문제 20. 방정식 개, 미지수 개인 계에서 유일한 해가 가능합니까?
답. 불가능합니다. 계수가 이하라 자유변수가 최소 개 남습니다.
문제 21. 일반해의 구조를 쓰고 특수해를 바꿔도 되는 이유를 쓰세요.
답. 특수해 하나에 동차해 전체를 더한 것이며, 두 특수해의 차가 동차해이므로 같은 집합이 나옵니다.
문제 22. 의 해를 모두 구하세요.
답. 입니다.
문제 23. 동차계가 언제나 해를 갖는 이유와 비자명해가 존재할 조건을 쓰세요.
답. 이 언제나 해이고, 일 때 비자명해가 있습니다.
문제 24. 미지수가 방정식보다 많은 동차계에 대해 무엇을 단언할 수 있습니까?
답. 반드시 비자명해를 가집니다.
문제 25. 의 기본행렬과 그 역행렬을 쓰세요.
답. 이고 역은 를 로 바꾼 것입니다.
문제 26. 의 역행렬을 구하세요.
답. 이므로 입니다.
문제 27. 역행렬이 유일함을 보이는 계산을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 28. 가우스-조던으로 역행렬을 구하는 절차와 그것이 작동하는 근거를 쓰세요.
답. 를 기약행사다리꼴로 밉니다. 소거가 를 만들고 같은 곱이 오른쪽 에 적용되기 때문입니다.
문제 29. 가역의 동치 조건을 다섯 개 쓰세요.
답. , RREF가 , , 열이 일차독립, 입니다.
문제 30. 이 가역인지 판정하고 이유를 두 가지로 쓰세요.
답. 가역이 아닙니다. 이고 두 열이 평행합니다.
문제 31. 특이행렬을 변환의 언어로 설명하세요.
답. 차원을 뭉개어 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가므로 되돌릴 수 없습니다.
문제 32. 과 을 쓰세요.
답. 과 입니다.
문제 33. 이 거짓임을 반례로 보이세요.
답. 이면 왼쪽이 이고 오른쪽이 입니다.
문제 34. 일 때 를 쓰고 의 경우와 비교하세요.
답. 앞은 이고 뒤는 입니다. 곱하는 쪽이 다릅니다.
문제 35. 정사각행렬에서 이면 인 이유를 쓰세요.
답. 이면 이므로 가 가역이고 입니다.
문제 36. 코드에서
inv(A) @ b를 쓰지 않는 이유를 세 가지 쓰세요.
답. 세 배 이상 비싸고, 조건이 나쁠 때 오차가 크며, 희소성을 잃기 때문입니다.
문제 37. 을 LU 분해하세요.
답. 이므로 이고 입니다.
문제 38. 의 성분이 뜻하는 것과 의 대각을 쓰세요.
답. 소거 계수이며 대각은 모두 입니다.
문제 39. 과 를 한 배열에 담을 수 있는 이유를 쓰세요.
답. 의 대각과 위쪽이 정해져 있고 의 아래쪽이 이라 자리가 겹치지 않습니다.
문제 40. 를 푸는 두 단계와 각각의 방향을 쓰세요.
답. 를 위에서 아래로, 를 아래에서 위로 풉니다.
문제 41. 상수항이 개일 때 매번 소거하는 경우와 LU 재사용의 계산량을 비교하세요.
답. 대 입니다.
문제 42. 가역인데도 교환 없는 LU가 실패하는 예를 하나 들고 대책을 쓰세요.
답. 이며 행을 교환해 로 처리합니다.
문제 43. 일 때 를 푸는 절차를 쓰세요.
답. 상수항을 로 바꾼 뒤 전진대입과 후진대입을 합니다.
문제 44. 콜레스키 분해의 조건, 형태, 계산량을 쓰세요.
답. 대칭 양정치일 때 이며 입니다.
문제 45. 콜레스키가 실패하면 무엇을 알 수 있는지 쓰세요.
답. 그 행렬이 양정치가 아닙니다.
문제 46. LU로 행렬식을 계산하는 식을 교환까지 포함해 쓰세요.
답. 이며 는 교환 횟수입니다.
문제 47. 부분 피벗팅이 무엇이고 왜 필요한지 쓰세요.
답. 절댓값이 최대인 성분을 피벗으로 삼는 것이며, 소거 계수를 이하로 만들어 작은 값이 밀려나는 것을 막습니다.
문제 48. 이 단원에서 반복된 "공식과 계산법은 다르다"는 교훈의 사례를 세 가지 쓰세요.
답. 크라메르 공식 대신 소거를 쓰고, 역행렬 대신 방정식을 풀며, 행렬식 정의 대신 LU의 대각 곱을 씁니다.
43문항 이상 맞았으면 03단원으로 넘어갑니다. 그렇지 않으면 아래 표를 보고 해당 강의로 돌아갑니다.
| 틀린 문항 | 돌아갈 곳 |
|---|---|
| 1~12 | 66강 행렬 연산 |
| 13~17, 25 | 67강 가우스 소거법 |
| 18~24 | 68강 기약행사다리꼴과 해의 구조 |
| 26~36 | 69강 역행렬 |
| 37~48 | 70강 LU 분해 |
특히 다음 세 문항을 틀렸다면 반드시 돌아가야 합니다.
| 문항 | 왜 중요한가 |
|---|---|
| 5 | 곱을 열로 읽는 관점이 이 과목 전체의 기본입니다 |
| 21 | 해집합의 구조가 74강의 정리로 이어집니다 |
| 29 | 가역 동치 조건은 이 과목에서 가장 자주 쓰입니다 |