이 단원은 S4의 세 번째 단원이며 71강부터 75강까지를 맡습니다. 관점을 한 단계 끌어올립니다.
01단원과 02단원에서 벡터는 언제나 Rn의 원소였습니다. 그런데 62강에서 뽑아 둔 여덟 공리만 만족하면 다항식도, 함수도, 행렬도 같은 언어로 다룰 수 있습니다.
이 단원이 하는 일은 세 가지입니다.
첫째, 흩어진 개념을 하나로 묶습니다.
| 앞에서 따로 나온 것 |
이 단원에서 |
| 68강 동차계의 해집합 |
영공간, 부분공간의 한 예 |
| 68강 비동차계의 해집합 |
아핀 부분공간 |
| 66강 열들이 생성하는 집합 |
열공간 |
| 68강 계수 |
일차독립인 열의 최대 개수 |
| 68강 자유변수의 개수 |
영공간의 차원 |
| 49강 부정적분의 +C |
함수 공간의 일차원 부분공간 |
둘째, "몇 개면 충분한가"에 답합니다. 군더더기 없이 빠짐없이 만드는 집합이 기저이고, 그 크기가 차원이며, 그 수가 기저 선택과 무관합니다.
셋째, 행렬 하나에 딸린 구조를 완성합니다. 네 부분공간의 차원이 계수 하나로 정해지고, 두 쌍이 서로의 직교여공간이라 공간이 정확히 둘로 갈립니다.
Rn=C(A⊤)⊕N(A),Rm=C(A)⊕N(A⊤)
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 앞 단원들과 다른 성격이 있습니다. 정의가 많고 계산이 적습니다.
그래서 읽는 방법도 달라야 합니다. 정의를 외우려 하지 말고 왜 그렇게 정의했는지를 따라가야 합니다.
| 정의 |
왜 그렇게 하는가 |
| 부분공간의 세 조건 |
여덟 공리를 다시 확인하지 않기 위해서입니다 |
| 일차독립을 ∑civi=0로 |
모든 벡터를 대칭적으로 다루기 위해서입니다 |
| 기저 = 독립 + 생성 |
좌표의 유일성과 존재를 각각 보장합니다 |
| 차원 = 기저의 크기 |
기저 선택과 무관함을 먼저 증명했습니다 |
또 하나 눈여겨볼 것은 같은 증명 구조가 반복된다는 점입니다.
두 개가 있다고 가정 → 빼 본다 → 차가 특별한 집합에 있다 → 그 집합이 {0}
이 골격이 세 번 나옵니다. 72강의 표현 유일성, 73강의 직합 분해 유일성, 74강의 행공간 위 단사성입니다. 69강의 역행렬 유일성과 71강의 영벡터 유일성도 같은 모양입니다.
- 이 단원은 71,72,73,74,75강 순서로 읽어야 합니다.
- 62강의 벡터공간 공리 여덟 가지가 71강의 출발점입니다.
- 63강의 내적 양정치성이 73강 심화 2와 74강 심화 1에서 결정적입니다.
- 64강의 정사영이 74강의 분해와 75강의 정규직교기저에서 다시 나옵니다.
- 59강의 푸리에 급수가 71강 심화 2와 75강 문제 3에서 재해석됩니다.
- 66강의 행렬-벡터 곱이 72강의 독립 판정과 74강의 직교 증명에 쓰입니다.
- 68강의 해의 구조 전체가 71강과 74강에서 다시 읽힙니다.
- 69강의 가역 동치 조건이 72강과 73강에서 계속 확장됩니다.
- 벡터공간과 부분공간
- 일차독립과 기저
- 차원과 계수
- 네 가지 기본 부분공간
- 좌표와 기저 변환
-
- 벡터공간과 부분공간
벡터를 Rn 밖으로 넓히고 부분공간을 세 조건으로 판정합니다. 부분공간이 아닌 예를 세 가지 다른 이유로 제시하고, 생성이 언제나 부분공간임을 보이며, 영공간과 열공간을 부분공간으로 인식합니다.
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- 일차독립과 기저
군더더기 없는 상태를 정의하고 그것이 표현의 유일성과 같음을 밝힙니다. 개수가 차원을 넘으면 반드시 종속임을 증명하고, 기저와 좌표를 정의하며, 다항식 공간에서도 판정합니다.
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- 차원과 계수
기저의 크기가 유일함을 증명해 차원을 정의합니다. 행계수와 열계수가 같음을 보이고, 계수-퇴화차수 정리를 증명하며, 부분공간의 합과 교집합의 차원 관계를 세웁니다.
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- 네 가지 기본 부분공간
행렬에 딸린 네 공간의 차원과 기저를 구하고 두 쌍의 직교 관계를 증명합니다. 공간이 정확히 둘로 갈리는 그림을 완성하고, 벡터의 분해에서 최소 노름 해를 얻습니다.
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- 좌표와 기저 변환
기저행렬로 좌표와 벡터를 오가고 두 기저 사이의 변환행렬을 세웁니다. 정규직교기저에서 좌표가 내적으로 나옴을 밝히고, 닮음으로 거듭제곱이 쉬워지는 것을 봅니다.
- 부분공간 판정에서 영벡터를 먼저 확인했는가?
- 덧셈과 음수배를 둘 다 확인했는가?
- Pn의 차원을 n+1로 세었는가?
- 종속을 "하나가 영벡터"로 오해하지 않았는가?
- 열공간 기저를 RREF가 아니라 원래 열에서 골랐는가?
- 행공간 기저는 RREF에서 읽어도 된다는 것을 기억하는가?
- 좌영공간의 차원을 m−r로 세었는가?
- 계수-퇴화차수에서 n이 열의 개수임을 확인했는가?
- 두 부분공간의 차원을 더할 때 교집합을 뺐는가?
- B와 B−1의 방향을 헷갈리지 않았는가?
- 부분공간을 판정하고 반례를 제시할 수 있습니다.
- 일차독립을 판정하고 종속이면 관계식을 구할 수 있습니다.
- 기저를 찾고 차원을 셀 수 있습니다.
- 네 부분공간의 기저와 차원을 소거 한 번으로 얻을 수 있습니다.
- 벡터를 두 직교 성분으로 가르고 최소 노름 해를 찾을 수 있습니다.
- 좌표를 바꾸고 그 이득을 계산량으로 설명할 수 있습니다.
76강부터 시작하는 04단원은 좌표를 벗어납니다.
지금까지는 행렬을 먼저 두고 변환을 설명했습니다. 04단원은 순서를 뒤집습니다. 선형변환을 먼저 정의하고 행렬을 그 표현으로 봅니다. 그러면 75강의 닮음이 "같은 변환의 두 표현"이라는 뜻을 정확히 얻습니다.
| 이 단원에서 |
04단원에서 |
| 75강 닮음 |
77강 표현행렬과 기저 교체 |
| 71강 영공간 |
76강 핵 |
| 71강 열공간 |
76강 상 |
| 73강 계수-퇴화차수 |
76강 차원 정리(좌표 없이) |
| 65강 삼중곱과 부피 |
79강 행렬식의 기하 |
| 69강 detA=0 |
78강 행렬식과 가역 |
그리고 이 단원이 05단원과 06단원의 바탕입니다.
| 강의 |
이어지는 곳 |
| 71 부분공간 |
80강 직교여공간 |
| 72 기저 |
80강 그람슈미트, 85강 고유벡터 기저 |
| 73 계수 |
88강 특이값의 개수, 89강 저계수 근사 |
| 74 네 부분공간 |
82강 최소제곱, 83강 의사역행렬, 88강 SVD |
| 75 좌표 변환 |
85강 대각화, 86강 스펙트럼 정리 |
74강 심화 4에서 정규방정식이 세 줄로 유도됩니다. 잔차가 좌영공간에 있다는 조건 하나에서 82강의 결과가 따라오며, 이것이 이 단원이 뒤를 위해 해 둔 가장 큰 일입니다.