71강부터 75강까지의 내용을 섞어 묻는 48문항입니다. 강의를 모두 읽은 뒤 손으로 풀어야 이 단원이 끝납니다.
푸는 방법. 강의를 다시 보지 않고 먼저 풉니다. 막히면 어느 강의로 돌아가야 하는지 스스로 판단한 뒤 그 강의만 다시 읽습니다. 어디로 돌아가야 할지 모르는 것이 진짜 막힌 것입니다.
통과선은 43문항입니다. 이 단원은 05단원과 06단원 전체가 딛고 서는 자리이므로 기준을 높게 둡니다.
| 구하려는 것 | 쓸 도구 | 강의 |
|---|---|---|
| 부분공간인가 | 세 조건 확인 | 71 |
| 부분공간이 아님을 보이기 | 반례 하나 | 71 |
| 독립인가 | 열로 놓고 계수 확인 | 72 |
| 종속의 관계식 | 의 비자명해 | 72 |
| 차원 | 생성 벡터의 계수 또는 n-\operatorname | 73 |
| 영공간의 차원 | 73 | |
| 네 공간의 기저 | 소거 한 번 | 74 |
| 최소 노름 해 | 행공간 성분만 남깁니다 | 74 |
| 좌표 | 를 풉니다 | 75 |
| 정규직교에서 좌표 | 내적 | 75 |
| A^ | SD^{k}S^ | 75 |
첫째, 열공간과 행공간의 기저 규칙이 다릅니다. 행 연산은 행공간을 보존하지만 열공간은 바꿉니다. 그래서 열공간 기저는 원래 의 열에서 골라야 하고, 행공간 기저는 RREF의 행을 그대로 써도 됩니다.
둘째, 의 차원은 입니다. 상수항까지 세어야 합니다.
셋째, 계수-퇴화차수의 은 열의 개수입니다. 행의 개수가 아니며, 인 경우에도 합이 입니다.
문제 1. 벡터공간의 정의를 한 문장으로 쓰세요.
답. 두 연산이 여덟 공리를 만족하는 집합입니다.
문제 2. 이 아닌 벡터공간을 세 개 쓰세요.
답. 다항식 공간, 행렬 공간, 연속함수 공간입니다.
문제 3. 부분공간의 세 조건을 쓰세요.
답. 영벡터를 포함하고, 덧셈에 닫혀 있고, 스칼라배에 닫혀 있습니다.
문제 4. 그 셋을 한 문장으로 줄이세요.
답. 비어 있지 않고 일차결합에 대해 닫혀 있습니다.
문제 5. 이 부분공간입니까?
답. 아닙니다. 영벡터가 없습니다.
문제 6. 두 좌표축의 합집합이 부분공간이 아닌 이유를 쓰세요.
답. 덧셈에 닫혀 있지 않습니다. 이 밖에 있습니다.
문제 7. 제1사분면이 부분공간이 아닌 이유를 쓰세요.
답. 음수배에서 나갑니다.
문제 8. 부분공간을 기하로 한 문장으로 표현하세요.
답. 원점을 지나는 평평한 집합입니다.
문제 9. 이 언제나 부분공간인 이유를 쓰세요.
답. 일차결합의 일차결합이 다시 일차결합이기 때문입니다.
문제 10. 부분공간을 기술하는 두 방식을 쓰세요.
답. 생성하는 벡터를 주거나 만족할 방정식을 줍니다.
문제 11. 두 부분공간의 교집합과 합집합 중 부분공간인 것을 쓰세요.
답. 교집합입니다. 합집합은 대개 아닙니다.
문제 12. 을 공리에서 증명하는 첫 단계를 쓰세요.
답. 로 씁니다.
문제 13. 일차독립을 정의하세요.
답. 일차결합이 영벡터가 되는 경우가 계수 전부 일 때뿐입니다.
문제 14. 영벡터를 포함한 집합이 언제나 종속인 이유를 쓰세요.
답. 영벡터의 계수만 로 두어도 관계식이 되기 때문입니다.
문제 15. 의 독립 여부와 관계식을 쓰세요.
답. 종속이며 입니다.
문제 16. 독립이면 무엇이 유일합니까?
답. 만들 수 있는 벡터의 표현입니다.
문제 17. 그 유일성의 증명을 한 문장으로 쓰세요.
답. 두 표현의 차가 영벡터의 관계식이 되기 때문입니다.
문제 18. 에서 벡터 개의 독립 여부를 단언하고 이유를 쓰세요.
답. 반드시 종속입니다. 미지수가 방정식보다 많아 비자명해가 있습니다.
문제 19. 기저의 두 조건과 각각이 보장하는 것을 쓰세요.
답. 독립은 좌표의 유일성을, 생성은 존재를 보장합니다.
문제 20. 차원이 잘 정의되는 근거를 쓰세요.
답. 두 기저에 교체 정리를 양방향으로 적용하면 크기가 같습니다.
문제 21. 와 의 차원을 쓰세요.
답. 각각 와 입니다.
문제 22. 대칭 행렬 공간의 차원을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 23. 일 때 독립인 개의 벡터는 기저입니까?
답. 맞습니다. 자동으로 생성합니다.
문제 24. 이고 차원이 같으면 무엇을 알 수 있습니까?
답. 입니다.
문제 25. 행계수와 열계수의 관계와 그 증명의 착상을 쓰세요.
답. 언제나 같습니다. 각 열이 행공간 기저의 계수들로 이루어진 개 벡터의 결합임을 보입니다.
문제 26. 계수-퇴화차수 정리를 쓰고 변환의 언어로 설명하세요.
답. 이며 입력 차원이 살아남는 것과 뭉개지는 것으로 갈립니다.
문제 27. 네 부분공간의 이름과 사는 곳을 쓰세요.
답. 열공간과 좌영공간은 에, 영공간과 행공간은 에 있습니다.
문제 28. 가 이고 계수가 일 때 네 차원을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 29. 두 쌍의 직교 관계를 쓰세요.
답. 영공간 행공간, 좌영공간 열공간입니다.
문제 30. 을 직교의 언어로 다시 쓰세요.
답. 가 의 모든 행과 수직입니다.
문제 31. 열공간과 행공간의 기저를 각각 어디서 읽습니까?
답. 열공간은 원래 의 피벗 열, 행공간은 RREF의 영 아닌 행입니다.
문제 32. 좌영공간의 원소가 뜻하는 것을 쓰세요.
답. 행들 사이의 일차 관계식입니다.
문제 33. 가 행공간을 어디로 어떻게 보냅니까?
답. 열공간으로 일대일, 즉 동형으로 보냅니다.
문제 34. 그것이 일대일인 이유를 쓰세요.
답. 차가 영공간에 있는데 행공간과의 교집합이 이기 때문입니다.
문제 35. 과 의 직합 분해를 쓰세요.
답. 와 입니다.
문제 36. 인 이유를 쓰세요.
답. 영공간 성분이 에 의해 사라지기 때문입니다.
문제 37. 최소 노름 해가 어디에 있고 왜 그렇습니까?
답. 행공간에 있으며 피타고라스 정리로 다른 해보다 짧습니다.
문제 38. 존재의 실패와 유일성의 실패가 각각 어느 공간에 대응합니까?
답. 존재는 좌영공간, 유일성은 영공간입니다.
문제 39. 좌표에서 벡터로, 벡터에서 좌표로 가는 식을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 40. 에서 의 좌표를 구하세요.
답. 이고 이므로 입니다.
문제 41. 를 쓰고 그 열의 뜻을 쓰세요.
답. 이며 번째 열은 의 좌표입니다.
문제 42. 기저벡터를 세 배로 늘리면 좌표가 어떻게 됩니까?
답. 이 됩니다.
문제 43. 직교행렬의 정의와 역행렬을 쓰세요.
답. 이며 입니다.
문제 44. 정규직교기저에서 좌표를 구하는 식과 계산량의 이점을 쓰세요.
답. 이며 이 으로 줄어듭니다.
문제 45. 파스발 항등식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 46. 닮음의 정의와 그 뜻을 쓰세요.
답. 이며 같은 변환을 다른 기저에서 본 것입니다.
문제 47. 일 때 를 쓰고 그것이 왜 싼지 설명하세요.
답. 이며 가 대각이면 성분을 거듭제곱하기만 하면 됩니다.
문제 48. 기저의 조건수가 크면 무엇이 문제입니까?
답. 좌표 계산이 불안정해져 작은 오차가 크게 증폭됩니다.
43문항 이상 맞았으면 04단원으로 넘어갑니다. 그렇지 않으면 아래 표를 보고 해당 강의로 돌아갑니다.
| 틀린 문항 | 돌아갈 곳 |
|---|---|
| 1~12 | 71강 벡터공간과 부분공간 |
| 13~19 | 72강 일차독립과 기저 |
| 20~26 | 73강 차원과 계수 |
| 27~38 | 74강 네 가지 기본 부분공간 |
| 39~48 | 75강 좌표와 기저 변환 |
특히 다음 세 문항을 틀렸다면 반드시 돌아가야 합니다.
| 문항 | 왜 중요한가 |
|---|---|
| 26 | 계수-퇴화차수는 이 과목에서 가장 자주 쓰는 정리입니다 |
| 29 | 네 공간의 직교 관계에서 82강의 정규방정식이 나옵니다 |
| 31 | 열공간과 행공간의 규칙 차이는 실수하기 가장 쉬운 지점입니다 |