이 단원은 S4의 네 번째 단원이며 76강부터 79강까지를 맡습니다. 좌표를 벗어납니다.
01단원부터 03단원까지는 행렬을 먼저 두고 변환을 설명했습니다. 이 단원은 순서를 뒤집습니다. 선형변환을 먼저 정의하고 행렬을 그 표현으로 봅니다.
왜 그래야 하는지는 75강에서 이미 드러났습니다. 같은 변환이 기저에 따라 완전히 다른 행렬로 나타납니다.
A와S−1AS
성분이 다른데 같은 것이라면, "같은 것"이 무엇인지를 성분 없이 말할 수 있어야 합니다.
이 단원이 하는 일은 세 가지입니다.
첫째, 변환 자체를 정의합니다. 그러면 71강과 73강의 개념이 좌표 없이 다시 세워집니다.
| 좌표 있는 말 |
좌표 없는 말 |
| 영공간 N(A) |
핵 kerT |
| 열공간 C(A) |
상 imT |
| 계수-퇴화차수 |
차원 정리 |
| 닮음 |
같은 변환의 두 표현 |
둘째, 좌표와 무관한 양을 찾습니다. 그것이 불변량이며, 변환 자신의 성질입니다. 대각합, 행렬식, 계수, 고유값이 보존되고 성분과 노름은 보존되지 않습니다.
셋째, 행렬식이 무엇을 재는지 밝힙니다. 답은 부피의 배율이며, 그러면 78강의 성질이 모두 기하로 설명됩니다.
det(AB)=detA⋅detB는 배율의 합성입니다
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원을 읽을 때는 정의와 계산법을 구별해야 합니다.
| 정의 (좌표 없음) |
계산법 (좌표 있음) |
| 부피 배율 |
소거해서 피벗의 곱 |
| 일차결합을 보존하는 사상 |
표현행렬 |
| 방향이 안 바뀌는 벡터 |
고유벡터 (84강) |
왼쪽이 무엇인지 말하고 오른쪽이 어떻게 구하는지 말합니다. 이 구별을 유지하면 공식을 외우지 않고도 왜 그런지 설명할 수 있습니다.
또 하나 눈여겨볼 것은 함정이 두 번 나온다는 점입니다.
76강 문제 1에서 절댓값 사상은 양수배 조건을 만족합니다. c=2로만 시험하면 선형이라고 잘못 판정합니다.
77강 문제 3에서 닮음이 노름을 바꾸는 것을 보이려면 직교가 아닌 기저 변환을 써야 합니다. 직교로 시험하면 보존되어 반대 결론이 나옵니다.
둘 다 "통과하는 예만 보면 틀린다"는 구조이며, 반례를 고를 때 무엇을 피해야 하는지 알려 줍니다.
- 이 단원은 76,77,78,79강 순서로 읽어야 합니다.
- 66강의 행렬을 변환으로 읽는 관점이 76강의 출발점입니다.
- 69강의 가역 동치 조건 마지막 줄이 78강 문제 4에서 증명됩니다.
- 70강 심화 2의 행렬식 계산이 78강 문제 3에서 근거를 얻습니다.
- 75강의 닮음이 77강에서 정확한 뜻을 얻습니다.
- 65강의 스칼라 삼중곱이 79강 문제 3에서 3×3 행렬식임이 밝혀집니다.
- 38강의 미분의 선형성이 76강 문제 5에서 선형사상으로 정식화됩니다.
- 49강의 부정적분 +C가 76강 문제 5에서 핵으로 설명됩니다.
- 선형변환
- 표현행렬과 닮음
- 행렬식의 계산
- 행렬식의 기하적 의미
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- 선형변환
일차결합을 보존하는 사상을 정의하고 판정합니다. 기저의 상이 변환을 결정함을 보이고, 핵과 상을 좌표 없이 세우며, 차원 정리를 소거 없이 증명하고, 미분과 적분을 선형사상으로 다룹니다.
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- 표현행렬과 닮음
임의의 기저에 대한 표현행렬을 세우고 기저 교체 규칙을 유도합니다. 닮음 불변량을 찾고 보존되지 않는 것도 반례로 보이며, 불변량으로 닮지 않음을 판정하고 동치와 구별합니다.
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- 행렬식의 계산
행렬식을 세 성질로 정의하고 여인수 전개와 소거 계산법을 세웁니다. 곱, 전치, 역, 스칼라의 규칙을 확인하고 가역 조건을 증명하며, 넘침 문제와 로그행렬식을 다룹니다.
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- 행렬식의 기하적 의미
행렬식이 부피 배율임을 몬테카를로로 확인하고 부호가 방향임을 밝힙니다. 삼중곱이 그 삼차원 판임을 보이고, 곱셈 성질을 기하로 설명하며, 야코비안을 국소 배율로 이해합니다.
- 선형성 판정에서 음수배도 시험했는가?
- T(0)=0을 충분조건으로 오해하지 않았는가?
- 표현행렬을 만들 때 상을 좌표로 옮겼는가?
- B−1AB와 BAB−1의 방향을 확인했는가?
- 노름이 닮음 불변이라고 잘못 알고 있지는 않은가?
- det(cA)에서 cn을 썼는가?
- 여인수 전개로 큰 행렬을 계산하려 하지 않았는가?
- 행렬식의 크기로 가역성을 판단하지 않았는가?
- 부호를 버리고 넓이만 보지 않았는가?
- 야코비안에 절댓값을 붙였는가?
- 선형변환을 정의하고 판정할 수 있습니다.
- 임의의 기저에 대한 표현행렬을 만들 수 있습니다.
- 불변량으로 두 행렬이 닮지 않음을 보일 수 있습니다.
- 행렬식을 소거로 계산하고 성질을 쓸 수 있습니다.
- 행렬식을 부피 배율로 해석하고 부호를 방향으로 읽을 수 있습니다.
- 야코비안이 좌표 변환에서 왜 붙는지 설명할 수 있습니다.
80강부터 시작하는 05단원은 길이와 각도를 보존하는 변환을 다룹니다.
이 단원의 행렬식은 부피를 전체적으로 요약합니다. 그런데 그것만으로는 부족합니다.
diag(10, 0.1)과I는 둘 다 det=1
부피는 같은데 하는 일이 전혀 다릅니다. 방향별 정보가 필요하며, 그것이 남은 단원들의 주제입니다.
| 단원 |
묻는 것 |
| 05 (80~83) |
길이를 보존하는 변환은 무엇인가, 가장 가까운 근사는 |
| 06 (84~89) |
어느 방향이 얼마나 늘어나는가 |
| 07 (90~92) |
그 정보로 계산의 안전성을 어떻게 재는가 |
84강에서 이 단원의 두 불변량이 고유값으로 설명됩니다.
detA=i∏λi,trA=i∑λi
79강 심화 3에서 대각합이 부피의 순간 변화율임을 보았는데, 곱의 로그가 합이므로 자연스럽습니다.
이 단원의 도구가 뒤에서 어떻게 쓰이는지도 적어 둡니다.
| 강의 |
이어지는 곳 |
| 76 선형변환·핵·상 |
84강 고유공간, 86강 자기수반 |
| 77 닮음과 불변량 |
85강 대각화, 88강 슈어·SVD |
| 78 행렬식 계산 |
84강 특성다항식 |
| 79 부피 배율 |
88강 ∣detA∣=∏σi, 98강 다변수 적분 |
77강 심화 4의 표가 남은 단원의 지도입니다. 대각화가 가능한 조건, 직교 대각화가 가능한 조건, 그리고 둘 다 안 될 때의 대안이 차례로 나옵니다.