76강부터 79강까지의 내용을 섞어 묻는 48문항입니다. 강의를 모두 읽은 뒤 손으로 풀어야 이 단원이 끝납니다.
푸는 방법. 강의를 다시 보지 않고 먼저 풉니다. 막히면 어느 강의로 돌아가야 하는지 스스로 판단한 뒤 그 강의만 다시 읽습니다. 어디로 돌아가야 할지 모르는 것이 진짜 막힌 것입니다.
통과선은 43문항입니다. 06단원의 대각화가 이 단원의 불변량 위에 세워지므로 기준을 높게 둡니다.
| 구하려는 것 | 쓸 도구 | 강의 |
|---|---|---|
| 선형인가 | 덧셈과 음수배를 시험 | 76 |
| 선형이 아님을 보이기 | 반례 하나 | 76 |
| 변환의 행렬 | 기저의 상을 열로 | 76 |
| 핵과 상의 차원 | 차원 정리 | 76 |
| 단사·전사 | 와 | 76 |
| 다른 기저의 표현 | 77 | |
| 닮지 않음 | 불변량 하나가 다름 | 77 |
| 작은 행렬식 | , 여인수 전개 | 78 |
| 큰 행렬식 | 소거해서 피벗의 곱 | 78 |
| 아주 큰 행렬식 | slogdet |
78 |
| 넓이·부피 배율 | $\lvert \det A\rvert $ | 79 |
| 좌표 변환의 보정 | 야코비안 | 79 |
첫째, 선형성 판정에서 양수배만 시험하면 안 됩니다. 는 에서 통과하고 에서 걸립니다.
둘째, 닮음은 노름을 보존하지 않습니다. 직교인 로 시험하면 보존되어 반대 결론이 나옵니다. 전단 같은 비직교 변환을 써야 드러납니다.
셋째, 입니다. 배가 아닙니다. 행이 개이고 각각에서 가 나옵니다.
문제 1. 선형변환의 조건을 하나의 식으로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 2. 이 필요조건일 뿐임을 예로 보이세요.
답. 는 통과하지만 선형이 아닙니다.
문제 3. 가 왜 위험한 함정입니까?
답. 양수배 조건을 만족해서 음수배를 시험하지 않으면 걸러지지 않습니다.
문제 4. 가 선형입니까?
답. 아닙니다. 인 아핀변환입니다.
문제 5. 선형변환을 결정하는 것이 무엇입니까?
답. 기저의 상입니다.
문제 6. , 일 때 행렬과 을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 7. 핵과 상이 부분공간인 이유를 쓰세요.
답. 가 일차결합을 보존하기 때문입니다.
문제 8. 차원 정리를 쓰고 가 무엇인지 밝히세요.
답. 이며 는 출발 공간의 차원입니다.
문제 9. 단사와 전사의 판정 조건을 쓰세요.
답. 각각 과 입니다.
문제 10. 가 단사일 수 있습니까?
답. 없습니다. 핵의 차원이 최소 입니다.
문제 11. 에서 미분의 핵과 계수를 쓰세요.
답. 핵은 상수함수 전체로 차원 이고 계수는 입니다.
문제 12. 적분이 미분의 왼쪽 역이 아닌 이유를 쓰세요.
답. 미분하면 상수항이 사라져 복원되지 않기 때문입니다.
문제 13. 표현행렬의 정의식과 열의 뜻을 쓰세요.
답. 이며 번째 열은 입니다.
문제 14. 표현행렬을 만들 때 빠뜨리기 쉬운 단계를 쓰세요.
답. 상을 같은 기저의 좌표로 옮기는 단계입니다.
문제 15. 를 와 로 나타내세요.
답. 입니다.
문제 16. 기저를 에서 로 바꿀 때의 규칙을 쓰세요.
답. 이며 입니다.
문제 17. 닮음 불변량을 네 개 쓰세요.
답. 대각합, 행렬식, 계수, 고유값입니다.
문제 18. 대각합이 보존되는 이유를 쓰세요.
답. 순환 성질에서 입니다.
문제 19. 고유값이 보존되는 이유를 쓰세요.
답. 이면 가 같은 고유값의 고유벡터입니다.
문제 20. 노름이 보존되지 않는 이유와 예외를 쓰세요.
답. 일반 기저 변환이 길이를 바꾸기 때문이며 직교 닮음에서는 보존됩니다.
문제 21. 닮지 않음을 보이는 가장 싼 방법을 쓰세요.
답. 불변량 하나가 다름을 보입니다.
문제 22. 과 를 무엇으로 구별합니까?
답. 계수입니다. 과 으로 다릅니다.
문제 23. 그 사실에서 대각화에 대해 무엇을 알 수 있습니까?
답. 고유값이 뿐인데 영행렬과 닮지 않으므로 대각화되지 않습니다.
문제 24. 동치의 완전한 불변량과 표준형을 쓰세요.
답. 계수이며 표준형은 입니다.
문제 25. 의 행렬식을 구하세요.
답. 입니다.
문제 26. 여인수의 부호 규칙을 쓰세요.
답. 자리가 입니다.
문제 27. 행렬식을 결정하는 세 성질을 쓰세요.
답. 교대성, 각 행에 대한 선형성, 입니다.
문제 28. 두 행이 같으면 왜 입니까?
답. 두 행을 바꾸면 같은 행렬인데 부호가 바뀌므로 입니다.
문제 29. 세 행 연산이 행렬식에 미치는 영향을 쓰세요.
답. 교환은 , 배는 , 배수 더하기는 불변입니다.
문제 30. 소거로 행렬식을 계산하는 식을 쓰세요.
답. 이며 는 교환 횟수입니다.
문제 31. 여인수 전개와 소거의 계산량을 비교하세요.
답. 과 입니다.
문제 32. , , 을 쓰세요.
답. , , 입니다.
문제 33. 가 일 때 를 로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 34. 가역 조건을 행렬식으로 쓰고 근거를 쓰세요.
답. 이며 에서 나옵니다.
문제 35. 가역 판정에 행렬식을 쓰지 말아야 하는 이유를 쓰세요.
답. 크기가 조건수와 무관해 문턱 판정이 위험합니다.
문제 36. 큰 행렬식을 계산할 때 무엇을 씁니까?
답. slogdet처럼 로그행렬식을 씁니다.
문제 37. 행렬식이 무엇을 재는지 한 문장으로 쓰세요.
답. 변환이 부피를 몇 배로 만드는지 재며 부호는 방향을 담습니다.
문제 38. 단위정사각형의 상과 그 넓이를 쓰세요.
답. 두 열이 만드는 평행사변형이고 넓이가 입니다.
문제 39. 이 넓이를 몇 배로 만듭니까?
답. 배입니다.
문제 40. 부호가 뜻하는 것을 세 경우로 쓰세요.
답. 양이면 방향 보존, 음이면 반전, 이면 뭉개짐입니다.
문제 41. 회전으로 방향을 뒤집을 수 없는 이유를 쓰세요.
답. 이 연속인데 에서 로 가려면 을 지나야 하기 때문입니다.
문제 42. 삼중곱과 행렬식의 관계를 쓰세요.
답. 세 벡터를 열로 놓은 행렬식이 삼중곱입니다.
문제 43. 를 구하고 기하로 설명하세요.
답. 입니다. 다섯 방향으로 두 배 늘리면 부피가 배입니다.
문제 44. 곱셈 성질을 기하로 설명하세요.
답. 변환을 이어서 하면 부피 배율이 곱해집니다.
문제 45. 닮음 불변성을 기하로 설명하세요.
답. 부피 배율은 좌표계와 무관하기 때문입니다.
문제 46. 야코비안이 무엇이고 무엇에 쓰입니까?
답. 미분의 행렬식이며 국소 부피 배율로 좌표 변환 적분을 보정합니다.
문제 47. 극좌표에서 를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 48. 이 작은 것과 특이에 가까운 것이 왜 다릅니까?
답. 은 전체 부피이고 특이성은 가장 눌린 방향이라, 처럼 행렬식이 작아도 조건수가 일 수 있습니다.
43문항 이상 맞았으면 05단원으로 넘어갑니다. 그렇지 않으면 아래 표를 보고 해당 강의로 돌아갑니다.
| 틀린 문항 | 돌아갈 곳 |
|---|---|
| 1~12 | 76강 선형변환 |
| 13~24 | 77강 표현행렬과 닮음 |
| 25~36 | 78강 행렬식의 계산 |
| 37~48 | 79강 행렬식의 기하적 의미 |
특히 다음 세 문항을 틀렸다면 반드시 돌아가야 합니다.
| 문항 | 왜 중요한가 |
|---|---|
| 3 | 반례를 고를 때 무엇을 피해야 하는지 알려 줍니다 |
| 23 | 대각화가 언제 실패하는지의 최소 예입니다 |
| 48 | 행렬식과 조건수를 혼동하면 수치 판단이 무너집니다 |