이 단원은 S2의 첫 단원이며 21강부터 25강까지를 맡습니다. 1강부터 20강까지가 값을 구하는 일이었다면, 이 단원부터는 주장을 다루는 일이 시작됩니다.
먼저 명제가 무엇인지 정하고 부정, 그리고, 또는, 조건문을 기호로 적습니다. 그다음 "모든"과 "어떤"을 한정 기호로 옮겨 정리의 문장을 정확히 읽는 법을 만듭니다. 마지막 세 강의는 증명을 직접 쓰는 훈련입니다. 직접증명과 대우증명으로 시작해 귀류법으로 없음을 보이고, 수학적 귀납법으로 자연수 전체를 한꺼번에 다룹니다.
이 단원의 도구는 뒤의 모든 과목에서 예외 없이 쓰입니다. 33강부터 시작되는 미적분학의 정의는 전부 ∀ ε ∃ δ ∀ ε ∃ δ
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
문제 : 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.생각의 실마리 : 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.풀이 : 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.이 문제에서 배우는 것 : 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.바로 확인 : 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
증명을 다루는 단원이므로 특히 중요한 습관이 하나 있습니다. 풀이를 눈으로 읽는 것은 공부가 아닙니다. 증명은 손으로 다시 써 봐야 어느 줄이 어디에서 나왔는지 보입니다. 읽고 이해했다고 느낀 증명을 책을 덮고 다시 써 보면 대부분 첫 줄에서 막힙니다.
이 단원은 21 , 22 , 23 , 24 , 25 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5
1강의 수 체계 기호 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
2강의 곱셈 공식과 3강의 인수분해가 증명의 계산 부분에서 계속 쓰입니다.
8강의 부등식 성질이 25강의 부등식 귀납법에서 쓰입니다.
18강의 수열 합 공식들이 25강에서 다시 증명됩니다.
4강에서 확인한 분모가 0 0
명제와 논리 연결사
한정 기호와 부정
직접증명과 대우증명
귀류법과 반례 찾기
수학적 귀납법
명제와 논리 연결사
한정 기호와 부정
직접증명과 대우증명
귀류법과 반례 찾기2 2
수학적 귀납법
조건문의 부정을 조건문으로 쓰지 않았는가?
역이나 이를 증명해 놓고 원래 명제를 증명했다고 하지 않았는가?
한정 기호를 쓸 때 범위를 함께 적었는가?
∀ x ∃ y ∀ x ∃ y ∃ y ∀ x ∃ y ∀ x 임의의 원소를 잡아 놓고 몰래 조건을 붙이지 않았는가?
나누기 전에 나누는 것이 0 0
귀류법에서 모순을 A A ¬ A ¬ A
귀납법에서 기초 단계를 실제로 계산했는가?
귀납 단계가 작은 k k
사례를 몇 개 확인한 것으로 전칭 명제를 증명했다고 하지 않았는가?
명제를 기호로 옮기고 진리표로 동치를 판정할 수 있습니다.
어떤 문장이든 정확히 부정할 수 있습니다.
정리의 가정과 결론을 분리해 무엇을 증명해야 하는지 말할 수 있습니다.
직접증명, 대우증명, 귀류법, 귀납법 중 상황에 맞는 것을 골라 쓸 수 있습니다.
거짓인 명제에서 반례를 찾고 명제를 참이 되도록 고칠 수 있습니다.
남이 쓴 증명에서 잘못된 단계를 지목할 수 있습니다.
26강부터 시작하는 02단원 집합과 함수는 이 단원의 도구를 바로 씁니다. 집합의 상등을 증명할 때 ∀ x , ( x ∈ A ↔ x ∈ B ) ∀ x , ( x ∈ A ↔ x ∈ B )