이 단원은 S3의 첫 단원이며 33강부터 36강까지를 맡습니다. 미적분학이 실제로 시작되는 자리입니다.
미적분학이 다루는 것은 단 하나, 한없이 가까워지는 상황입니다. 그러니 그 말을 정확히 적는 일이 먼저입니다. 33강에서 수열에 대해 ε과 N으로 적고, 34강에서 함수로 옮기며 N이 δ가 됩니다. 35강에서 극한과 함숫값이 일치하는 상황에 연속이라는 이름을 붙이고, 36강에서 그 조건이 무엇을 보장하는지 두 정리로 확인합니다.
이 단원의 재료는 전부 S2에서 왔습니다. 22강의 한정 기호와 그 순서, 24강의 귀류법, 25강의 귀납법과 완비성, 32강의 닫힌 형태입니다. S2가 왜 필요했는지가 여기서 처음으로 분명해집니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
이 단원에는 특별한 어려움이 하나 있습니다. 정의가 한정 기호 세 개짜리 문장이라는 것입니다. 눈으로 읽으면 다 아는 것 같지만 직접 쓰라고 하면 순서가 뒤엉킵니다. 33강과 34강의 정의는 반드시 손으로 여러 번 써 봅니다.
- 이 단원은 33,34,35,36강 순서로 읽어야 합니다.
- 22강의 ∀ε∃N 순서와 그 부정이 이 단원 전체의 문법입니다.
- 25강의 귀납법이 33강 문제 5의 단조와 유계 증명에 그대로 쓰입니다.
- 32강의 닫힌 형태가 있어야 33강에서 극한을 계산할 수 있습니다.
- 15강의 호도법과 16강의 삼각함수 성질이 34강의 xsinx 증명에 필요합니다.
- 29강의 유리수와 무리수의 빽빽함이 34강과 35강의 디리클레 함수에서 쓰입니다.
- 3강의 인수분해와 4강의 유리화가 34강의 부정형 처리 도구입니다.
- 수열의 극한
- 함수의 극한과 극한법칙
- 연속과 불연속
- 중간값 정리와 최대·최소 정리
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- 수열의 극한
"한없이 가까워진다"를 ε과 N으로 적고, 극한법칙과 샌드위치 정리, 발산의 증명, 단조수렴정리를 세웁니다. 심화 4에서 e를 극한으로 정의합니다.
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- 함수의 극한과 극한법칙
N 자리에 δ를 놓고 좌우 두 방향을 다룹니다. 부정형 처리와 xsinx→1의 증명, 수열을 이용한 발산 판정을 익힙니다.
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- 연속과 불연속
극한과 함숫값이 일치하는 상황에 이름을 붙이고, 불연속을 네 종류로 분류하며, 디리클레 함수로 정의가 비유보다 넓음을 확인합니다.
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- 중간값 정리와 최대·최소 정리
연속이 보장하는 것을 두 정리로 답하고, 이분법으로 근을 좁히며, 각 가정이 막고 있는 반례를 짝지어 둡니다.
- ∀ε과 ∃N의 순서를 지켰는가?
- N이나 δ를 ε의 식으로 적었는가?
- 극한 정의에서 0<∣x−a∣의 0<를 빠뜨리지 않았는가?
- 극한법칙을 쓰기 전에 각 극한이 존재하는지 확인했는가?
- 몫의 법칙에서 분모의 극한이 0이 아님을 확인했는가?
- 좌극한과 우극한을 모두 확인했는가?
- 점화식에 극한을 대입하기 전에 수렴을 먼저 확보했는가?
- 연속을 확인할 때 세 조건을 모두 봤는가?
- 정리를 쓰기 전에 닫힌구간과 연속 가정을 확인했는가?
- 정리의 역이 성립한다고 착각하지 않았는가?
- 수열과 함수의 극한을 정의에 따라 증명할 수 있습니다.
- 부정형을 식 변형으로 처리해 극한을 계산할 수 있습니다.
- 샌드위치 정리로 진동이 섞인 극한을 처리할 수 있습니다.
- 극한이 없음을 정의의 부정이나 두 수열로 증명할 수 있습니다.
- 불연속점을 찾아 종류를 분류하고 고칠 수 있는지 판정할 수 있습니다.
- 중간값 정리로 근의 존재를 보이고 이분법으로 값을 좁힐 수 있습니다.
- 정리의 가정이 빠졌을 때의 반례를 제시할 수 있습니다.
37강부터 시작하는 02단원 미분은 이 단원의 극한을 한 번 더 씁니다. 미분계수가 h→0limhf(a+h)−f(a)인데 이 식은 h=0에서 정의되지 않으므로, 34강에서 0<∣x−a∣를 넣어 둔 이유가 그때 완전히 드러납니다. 34강의 xsinx→1은 39강에서 sin의 도함수를 구할 때, 36강의 최대·최소 정리는 42강의 평균값 정리와 46강의 최적화에서 곧바로 쓰입니다.