이 단원은 103강부터 106강까지를 맡습니다. 방향을 바꿔 적분을 세웁니다.
01단원과 02단원에서 미분을 다 세웠습니다. 이제 반대 방향입니다.
48강에서 한 변수 적분을 리만합으로 정의했습니다. 구간을 잘게 나누고 직사각형의 넓이를 더했습니다. 변수가 늘면 나누는 대상이 구간에서 영역으로, 더하는 것이 넓이에서 부피로 바뀝니다.
∬Df(x,y)dA=limi,j∑f(xi∗,yj∗)ΔA
정의는 자연스러운데 계산이 문제입니다. 이중 극한을 직접 다룰 수 없으니 아는 것으로 환원해야 하고, 그 답이 반복적분입니다.
좌표를 바꿔 영역을 단순하게 만들고 그 대가를 야코비로 치릅니다
단원의 절반이 이 문장입니다. 원판은 직교좌표에서 근호를 부르지만 극좌표에서는 직사각형입니다. 그 대신 넓이 요소가 바뀝니다.
dA=rdrdθ
이 r이 어디서 오는지는 98강 문제 4에서 이미 확인했습니다. 야코비 행렬식이었습니다. 그리고 그 사실의 뿌리는 79강, 곧 행렬식이 부피 배율이라는 정리입니다.
| 강의 |
하는 일 |
쓰는 앞 도구 |
| 103 |
이중적분을 정의하고 반복적분으로 환원합니다 |
48~53강 |
| 104 |
극좌표를 쓰고 가우스 적분을 얻습니다 |
98강 |
| 105 |
임의의 변수변환으로 일반화합니다 |
79강, 98강 |
| 106 |
3차원으로 올리고 두 표준 좌표계를 다룹니다 |
103~105강 |
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 막혔던 것이 갑자기 풀리는 장면이 세 번 나옵니다.
| 장면 |
무엇이 열쇠였나 |
강의 |
| sin(y2)의 적분 |
순서를 바꾸니 ∫0ydx=y가 생겼습니다 |
103 문제 3 |
| ∫e−x2dx |
극좌표의 r이 치환을 가능하게 했습니다 |
104 문제 4 |
| ez3이 섞인 원뿔 |
안쪽 적분이 z2을 만들었습니다 |
106 심화 3 |
셋 다 같은 구조입니다.
적분의 구조가 필요한 인자를 만들어 줍니다
둘째 장면이 특히 값어치가 큽니다. 한 변수로는 부정적분이 없어 손도 못 대던 적분이, 차원을 하나 올려 평면 문제로 만든 뒤 극좌표로 내려오니 몇 줄에 끝납니다.
∫−∞∞e−x2dx=π
그리고 이 값이 140강 정규분포의 정규화 상수입니다.
103강 심화 1에서 푸비니 정리가 깨지는 예를 봅니다.
f(x,y)=(x2+y2)2x2−y2
두 반복적분이 +π/4와 −π/4로 부호까지 다릅니다. 안쪽 적분이 이론값과 소수 여덟째 자리까지 맞는데도 그렇습니다.
원인은 절댓값의 적분이 발산하는 데 있습니다. 격자를 촘촘히 할수록 5.2→6.6→8.0으로 커지며 수렴하지 않습니다.
절대수렴이 순서의 자유를 삽니다
33강 심화의 리만 재배열 정리와 같은 원리입니다. 무한히 많은 것을 더할 때 순서가 중요해지는 하나의 현상이며, 급수에서든 적분에서든 절대수렴이 그 자유를 보장합니다.
103강 심화 3에서 차원의 저주를 만납니다. 중점법칙의 오차는 차원과 무관하게 O(m−2)인데, 점의 수가 md로 늡니다.
| d |
오차 10−3에 필요한 점 수 |
| 3 |
3.2\times10^ |
| 6 |
1.0\times10^ |
| 20 |
1.0\times10^ |
d=6에서 격자는 106점을 쓰고도 몬테카를로보다 나쁩니다.
낮은 차원에서는 격자가, 높은 차원에서는 표본이 이깁니다
교차점이 대략 d=4 근처입니다. 그래서 이 단원의 계산법은 d≤3에서 쓰고, 그 이상은 표본 기반 방법으로 갑니다. 235강의 미니배치와 157강의 MCMC가 모두 이 문제에 대한 답입니다.
- 이 단원은 103,104,105,106강 순서로 읽어야 합니다.
- 48강의 리만합이 103강의 출발점입니다.
- 51강의 수치적분 오차 차수가 103강 문제 1에 나옵니다.
- 52강의 회전체 부피가 106강 문제 2에서 원기둥좌표로 다시 나옵니다.
- 53강의 치환적분이 105강 변수변환의 한 변수판입니다.
- 65강의 외적이 106강 심화 5의 곡면 넓이에 쓰입니다.
- 79강의 행렬식과 부피가 105강의 근거입니다.
- 87강의 콜레스키 분해가 105강 문제 5의 가우스 정규화에 쓰입니다.
- 98강의 야코비 행렬식이 이 단원 전체의 열쇠입니다.
- 100강의 테일러 전개가 103강 심화 2의 오차 해석에 쓰입니다.
- 이중적분
- 극좌표에서의 적분
- 변수변환과 야코비 행렬식
- 삼중적분과 부피
-
- 이중적분
리만합으로 정의하고 푸비니 정리로 반복적분에 환원합니다. 적분 순서를 바꿔 풀리지 않던 적분을 풀고, 일반 영역의 두 유형을 세우며, 넓이와 평균값을 적분으로 구합니다.
-
- 극좌표에서의 적분
원형 영역을 직사각형으로 만들고 넓이 요소 rdrdθ를 씁니다. 방사대칭 함수의 적분 공식을 세우고, 가우스 적분을 유도해 정규분포의 정규화 상수를 얻습니다.
-
- 변수변환과 야코비 행렬식
임의의 변환에 대한 공식을 세우고 조건을 밝힙니다. 변환을 설계하는 원칙을 정하고, 정방향과 역방향 야코비의 역수 관계를 확인하며, 다변량 가우스의 정규화 상수를 계산합니다.
-
- 삼중적분과 부피
차원을 하나 올려 원기둥좌표와 구면좌표를 다룹니다. 구면좌표의 ρ2sinϕ를 유도해 공의 부피와 구면의 넓이를 얻고, 질량과 무게중심을 계산합니다.
- 반복적분에서 바깥 범위를 상수로 두었는가?
- 순서를 바꾸기 전에 영역을 그렸는가?
- 안쪽 적분이 막히면 순서를 바꿔 봤는가?
- 극좌표에서 r을 빠뜨리지 않았는가?
- 변수변환에서 셋을 모두 바꿨는가?
- 야코비에 절댓값을 붙였는가?
- 변환이 일대일인지 확인했는가?
- 구면좌표의 sinϕ를 빠뜨리지 않았는가?
- ϕ의 범위를 [0,π]로 잡았는가?
- 영역의 대칭에 좌표를 맞췄는가?
- 이중적분과 삼중적분을 반복적분으로 계산할 수 있습니다.
- 적분 순서를 바꿔 계산 가능한 형태로 만들 수 있습니다.
- 극좌표, 원기둥좌표, 구면좌표를 상황에 맞게 고를 수 있습니다.
- 임의의 변수변환에 야코비를 정확히 적용할 수 있습니다.
- 가우스 적분과 다변량 가우스의 정규화 상수를 유도할 수 있습니다.
- 넓이, 부피, 질량, 무게중심을 적분으로 구할 수 있습니다.
- 격자와 표본 중 어느 방법이 적절한지 판단할 수 있습니다.
이 단원은 S6 확률과 통계 전체의 계산 기반입니다.
| 이 단원의 것 |
쓰이는 곳 |
| 정규화 ∬p=1 |
136강 결합분포 |
| 안쪽 적분 |
136강 주변분포 |
| 단면 |
137강 조건부분포 |
| 순서 교환 |
137강 탑 법칙 |
| 평균값 |
133강 기댓값 |
| 변수변환 |
139강 확률변수의 변환 |
| 가우스 적분 |
140강 다변량 정규분포 |
| 차원의 저주 |
157강 MCMC, 235강 미니배치 |
여섯째 줄이 미묘합니다. 적분에서는 ∣detJ∣를 곱하는데 밀도에서는 나눕니다. 부피가 늘어난 만큼 밀도가 묽어지기 때문이며, 이 부호가 273강 흐름 기반 생성모형의 로그가능도에서 결정적입니다.
logpY(y)=logpX(x)−i∑log∣detJi∣
107강부터 시작하는 04단원 볼록성과 경사법은 최적화로 돌아갑니다.
02단원에서 "무엇이 최소인가"에 답했으니 이제 "어떻게 찾는가"에 답할 차례입니다.
| 강의 |
하는 일 |
| 107 |
볼록집합과 볼록함수를 정의합니다 |
| 108 |
볼록성을 판정하고 부등식을 세웁니다 |
| 109 |
경사하강법을 세웁니다 |
| 110 |
학습률과 수렴 속도를 유도합니다 |
| 111 |
모멘텀과 적응적 학습률을 다룹니다 |
| 112 |
뉴턴법과 이차 방법으로 마무리합니다 |
107강이 국소와 전역을 잇습니다. 101강 심화 2에서 국소 판정이 전역 최소를 주지 못한다고 했는데, 볼록함수에서는 줍니다. 그 판정이 헤세로 이뤄지므로 02단원의 도구가 다시 쓰이며, 이번에는 한 점이 아니라 모든 점에서의 조건입니다.
03단원은 우회가 아니라 S6로 가는 다리입니다. 여기서 세운 적분이 확률 전체의 언어가 되고, 235강의 확률적 최적화에서 04단원과 다시 만납니다.
120강 뒤에 관문 3이 있으며 62강부터 120강까지를 섞어 묻습니다.