이 단원은 S3의 세 번째 단원이며 42강부터 47강까지를 맡습니다. 02단원에서 갖춘 계산력을 함수의 모양을 읽고 답을 찾아내는 데 씁니다.
이 단원 전체를 관통하는 질문은 하나입니다. 도함수는 한 점의 정보인데 어떻게 구간 전체를 말할 수 있는가. 증가와 감소는 구간에 대한 주장이고, 최댓값은 정의역 전체에 대한 주장입니다. 한 점에서 잰 기울기로 그런 주장을 하려면 다리가 필요합니다.
그 다리가 42강의 평균값 정리이며, 나머지 다섯 강의는 전부 그 위에 세워집니다. 43강의 증가 판정, 44강의 볼록성 판정, 45강의 로피탈 정리, 46강의 최적화 절차, 47강의 수렴 논증이 모두 평균값 정리를 근거로 삼습니다. 한 정리가 단원 하나를 떠받치는 구조는 이 커리큘럼에서 드뭅니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에서 특별히 주의할 것이 있습니다. 판정법은 모두 한쪽 방향으로만 갑니다. f′>0이면 증가하지만 증가한다고 f′>0은 아니고, f′′>0이면 볼록하지만 볼록하다고 f′′>0은 아니며, 도함수 비가 수렴하면 로피탈을 쓸 수 있지만 원래 극한이 수렴한다고 도함수 비가 수렴하지는 않습니다. 세 강의에서 같은 모양의 반례가 반복해서 나오므로 그 구조를 익히면 나머지가 쉬워집니다.
계산만 하고 넘어가서도 안 됩니다. 각 강의의 반례가 개념의 경계를 긋습니다. 한 점에서 f′>0인데 근처 어디서도 증가하지 않는 함수, f′′=0인데 변곡점이 아닌 점, 로피탈이 제자리를 도는 극한, 뉴턴법이 두 값을 오가는 초기값이 각각 그 일을 합니다.
- 이 단원은 42,43,44,45,46,47강 순서로 읽어야 합니다.
- 36강의 최대·최소 정리가 42강 롤의 정리의 증명 재료입니다.
- 36강의 중간값 정리가 43강의 부호 판정과 47강 이분법의 근거입니다.
- 37강의 접선이 47강 뉴턴법의 발상 그 자체입니다.
- 38강의 곱·몫의 미분법이 44강 볼록성 계산과 47강 뉴턴 사상의 미분에 쓰입니다.
- 41강의 고계도함수가 44강 2계 판정법의 전제입니다.
- 34강의 샌드위치 정리가 43강 심화 5와 45강 문제 4에서 다시 나옵니다.
- 25강의 수학적 귀납법이 44강 젠센 부등식의 증명 도구입니다.
- 평균값 정리
- 증가와 감소, 극값
- 볼록성과 변곡점
- 로피탈 정리와 부정형
- 한 변수 최적화 문제
- 뉴턴법과 수치적 근 찾기
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- 평균값 정리
최대·최소 정리에서 페르마, 롤, 평균값 정리를 차례로 세웁니다. 도함수가 0이면 상수라는 따름 정리를 증명하고, 코시 평균값 정리로 45강을 준비합니다.
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- 증가와 감소, 극값
도함수의 부호로 증감을 판정하고 임계점과 1계 판정법을 세웁니다. 임계점이 극값이 아닌 경우, 극값인데 미분 불가능한 경우, 한 점의 부호가 구간을 말하지 못하는 경우를 반례로 확인합니다.
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- 볼록성과 변곡점
볼록성을 현과 그래프의 위치로 정의하고 2계 도함수로 판정합니다. 변곡점을 찾고 2계 판정법을 세우며, 접선 부등식과 젠센 부등식으로 107강 이후를 준비합니다.
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- 로피탈 정리와 부정형
코시 평균값 정리로 로피탈을 증명하고 모든 부정형을 표준형으로 바꿉니다. 정리가 실패하는 네 가지 상황과 순환논법의 함정을 다루며, 성장 위계를 세웁니다.
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- 한 변수 최적화 문제
말로 주어진 문제에서 목적함수와 제약조건을 분리해 한 변수 함수를 세웁니다. 무한구간에서 최값의 존재를 논증하고, 평균과 중앙값이 각각 어떤 최적화의 답인지 밝힙니다.
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- 뉴턴법과 수치적 근 찾기
접선 근사에서 뉴턴 반복식을 유도하고 이차 수렴을 뉴턴 사상의 도함수로 설명합니다. 실패 방식 세 가지와 이분법과의 맞바꿈을 다루며, 미분이 알고리즘이 되는 첫 사례를 봅니다.
- 평균값 정리를 쓸 때 연속과 미분가능 조건을 모두 확인했는가?
- 정의역이 하나의 구간인지 확인했는가?
- 임계점을 찾을 때 미분 불가능한 점도 넣었는가?
- 임계점을 극값이라고 단정하지 않고 부호 변화를 확인했는가?
- 닫힌구간의 최값에서 끝점을 후보에 넣었는가?
- f′′=0인 점을 변곡점이라고 단정하지 않았는가?
- 2계 판정법이 실패했을 때 1계로 내려갔는가?
- 로피탈을 쓰기 전에 부정형인지 확인했는가?
- 로피탈의 근거가 순환논법이 아닌지 확인했는가?
- 최적화 문제에서 정의역을 정했는가?
- 무한구간에서 최값의 존재를 논증했는가?
- 뉴턴법을 돌리기 전에 근의 존재를 확인했는가?
- 평균값 정리로 부등식을 증명하고 함수의 성질을 이끌어 낼 수 있습니다.
- 증감표를 작성하고 도함수 정보만으로 그래프의 개형을 그릴 수 있습니다.
- 볼록성과 변곡점을 판정하고 접선 부등식을 활용할 수 있습니다.
- 모든 종류의 부정형을 처리하고 성장 속도를 비교할 수 있습니다.
- 현실의 문제를 최적화 문제로 세우고 답의 타당성을 검토할 수 있습니다.
- 손으로 풀리지 않는 방정식의 근을 원하는 정밀도로 구할 수 있습니다.
48강부터 시작하는 04단원 적분은 방향을 뒤집습니다. 이 단원까지는 함수를 쪼개 변화율을 보았다면, 04단원에서는 잘게 쪼갠 것을 다시 더합니다. 그 두 작업이 서로의 역이라는 사실이 미적분의 기본정리이며, 그 증명에 42강의 평균값 정리가 다시 한번 결정적으로 쓰입니다. 44강의 볼록성은 53강 이상적분의 수렴 판정에서, 45강의 성장 위계는 그 판정의 기준으로 다시 나옵니다.