이 단원은 S4의 첫 단원이며 62강부터 65강까지를 맡습니다. 여러 수를 한 덩어리로 다루는 언어 를 세우고, 그 위에서 길이와 각도와 도형을 계산합니다.
S3까지 다룬 것은 한 변수 함수였습니다. 입력이 수 하나이고 출력도 수 하나였습니다. 그런데 현실의 대상은 대개 수 하나로 표현되지 않습니다. 평면의 점은 두 수, 사진 한 장은 수십만 개, 문장 임베딩은 수천 개의 수로 이루어집니다.
이 단원이 하는 일은 기하를 대수로 옮기는 것 입니다.
기하적 개념
대수적 조건
길이
v ⋅ v v ⋅ v
각도
arccos u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ arccos ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v
수직
u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0
평행
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf
그림자
\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert^{2}}\mathbf
넓이·부피
외적의 크기, 삼중곱
그림 없이 계산되므로 차원이 아무리 높아도 다룰 수 있습니다. 이것이 이 단원의 실용적 성과이며, 256강 이후 임베딩을 다룰 때 수천 차원에서 각도를 재는 근거가 여기 있습니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 S3와 다른 성격이 있습니다. 두 관점을 계속 오갑니다.
관점
벡터가 뜻하는 것
유리한 곳
화살표
크기와 방향을 가진 이동
직관, 증명의 착상
성분
수들의 나열
계산, 고차원
화살표로 생각하고 성분으로 계산하는 것이 이 단원의 기본 훈련입니다. 어느 한쪽만으로는 멀리 가지 못합니다.
또 하나 눈여겨볼 것은 공리를 뽑아 두는 이유 입니다. 62강에서 벡터공간 공리 여덟 가지를, 63강에서 내적의 성질 셋을 정리하는데, R n R n 그 공리만으로 증명한 결과는 다항식·함수·행렬 공간에서도 그대로 성립합니다. 71강과 79강에서 그 관점이 정식화되며, 59강의 푸리에 급수가 함수 공간에서 일어난 일이었음이 드러납니다.
이 단원은 62 , 63 , 64 , 65 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5
4강의 피타고라스 정리가 62강의 노름 정의입니다.
2강의 이차식 판별식이 62강 심화 2의 코시-슈바르츠 증명에 쓰입니다.
16강의 코사인 법칙이 63강에서 내적을 유도하는 재료입니다.
30강의 복소수가 63강 심화 6의 복소 내적에서 다시 나옵니다.
43강과 44강의 판정법이 64강의 최소 거리 증명에 쓰입니다.
46강의 최적화가 64강에서 정사영으로 대체됩니다.
59강의 푸리에 직교성이 63강 심화 3과 64강 심화 6에서 다시 읽힙니다.
벡터와 벡터 연산
내적, 길이, 각도
정사영
외적과 직선·평면의 방정식
벡터와 벡터 연산
내적, 길이, 각도
정사영
외적과 직선·평면의 방정식
화살표와 성분 중 어느 관점이 지금 문제에 맞는가?
∥ c v ∥ ∥ c v ∥ 내적의 결과가 스칼라임을 잊지 않았는가?
각도를 정의할 때 코시-슈바르츠를 근거로 삼았는가?
정사영의 분모가 ∥ v ∥ 2 ∥ v ∥ 2
점-직선과 점-평면에서 재는 대상을 뒤바꾸지 않았는가?
외적에 결합법칙을 쓰지 않았는가?
외적의 순서를 바꿀 때 부호를 챙겼는가?
정규직교가 아닌데 항별로 정사영을 더하지 않았는가?
벡터 연산을 계산하고 기하적으로 해석할 수 있습니다.
고차원에서 길이와 각도를 정의하고 계산할 수 있습니다.
직교를 판정하고 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다.
벡터를 분해하고 최소 거리 문제를 정사영으로 풀 수 있습니다.
직선과 평면의 방정식을 세우고 거리를 구할 수 있습니다.
넓이와 부피를 외적과 삼중곱으로 계산할 수 있습니다.
66강부터 시작하는 02단원 행렬과 연립방정식은 이 단원에서 세운 도형들을 한꺼번에 다룹니다. 평면 하나가 일차방정식 하나였으므로, 평면 여럿이 만나는 곳을 찾는 것이 연립일차방정식입니다.
66강의 행렬은 그 방정식들을 정리하는 표이고 67강의 가우스 소거법이 푸는 절차인데, 그 과정에서 이 과목의 중심 관점이 세워집니다. 행렬은 숫자 표가 아니라 공간을 옮기는 변환입니다.
이 단원의 도구가 뒤에서 어떻게 쓰이는지도 미리 적어 둡니다.
강의
이어지는 곳
62 벡터공간 공리
71강 추상 벡터공간
63 내적
79강 내적공간, 86강 스펙트럼 정리
64 정사영
80강 그람슈미트, 82강 최소제곱, 83강 정사영 행렬
65 외적·삼중곱
78강 행렬식, 79강 행렬식의 기하