이 단원은 S2의 두 번째 단원이며 26강부터 29강까지를 맡습니다. 01단원에서 만든 논리와 증명의 도구를 실제 대상에 처음으로 적용하는 자리입니다.
먼저 집합을 정의하고 그 연산이 21강의 논리 연결사를 그대로 옮긴 것임을 확인합니다. 그다음 9강에서 그림으로 이해했던 함수를 곱집합의 부분집합으로 다시 정의하고, 단사와 전사라는 두 축으로 나눕니다. 이어서 합성을 정의하고 역함수가 존재할 조건이 전단사임을 증명합니다. 마지막으로 그 전단사를 잣대로 삼아 무한집합의 크기를 비교하고, 실수가 자연수보다 많다는 사실을 대각선 논법으로 증명합니다.
이 단원의 도구는 뒤에서 계속 쓰입니다. 33강 이후 극한의 정의가 집합과 한정 기호로 적히고, 62강 이후의 선형변환이 함수이며, 121강 이후 확률에서 사건이 집합이고 확률변수가 함수입니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
이 단원에서는 특히 정의를 정확히 외워 두는 것이 중요합니다. 여기서 증명하는 명제는 대부분 계산이 아니라 정의를 풀어 쓰는 것으로 절반이 끝납니다. 단사의 정의가 떠오르지 않으면 단사에 관한 어떤 문제도 시작할 수 없습니다.
- 이 단원은 26,27,28,29강 순서로 읽어야 합니다.
- 21강의 논리 연결사와 드모르간 법칙이 26강의 집합 연산으로 그대로 번역됩니다.
- 22강의 한정 기호가 없으면 27강의 함수 정의를 적을 수 없습니다.
- 23강의 대우증명이 27강의 단사 판정에서 바로 쓰입니다.
- 24강의 귀류법이 29강의 대각선 논법과 칸토어 정리의 뼈대입니다.
- 9강의 함수 개념과 11강의 역함수 계산이 27강과 28강에서 정확한 정의를 얻습니다.
- 19강의 순열과 조합이 27강 심화 5에서 단사 함수를 세는 일로 다시 나타납니다.
- 집합의 연산
- 함수, 단사와 전사
- 합성과 역함수의 엄밀한 정의
- 무한집합과 셀 수 있음
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- 집합의 연산
집합을 적는 문제를 풀며 원소나열법과 조건제시법, 부분집합과 상등, 합집합과 교집합과 여집합, 드모르간 법칙과 분배법칙, 멱집합과 곱집합을 끌어냅니다.
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- 함수, 단사와 전사
어떤 대응이 함수인지 가려내며 함수의 엄밀한 정의, 정의역과 공역과 치역, 함수의 상등, 단사와 전사와 전단사, 유한집합에서의 동치를 세웁니다.
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- 합성과 역함수의 엄밀한 정의
두 함수를 이어 붙이며 합성의 조건, 결합법칙과 교환법칙, 성질의 전달 방향, 역함수의 존재 조건과 유일성, 순서가 뒤집히는 규칙을 다룹니다.
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- 무한집합과 셀 수 있음
무한집합의 크기를 재며 대등과 무한의 정의, 셀 수 있음, 대각선 나열, 대각선 논법, 칸토어 정리와 무한의 위계를 만듭니다.
- ∈과 ⊆를 혼동하지 않았는가?
- 집합의 상등을 증명할 때 양쪽 포함을 모두 보였는가?
- 가정에 합집합이 나왔을 때 경우를 나누었는가?
- 함수가 되는 두 조건인 존재와 유일을 모두 확인했는가?
- 단사를 증명할 때 대우 형태를 썼는가?
- 전사를 증명할 때 x를 y의 식으로 적었는가?
- 합성의 순서를 오른쪽부터로 읽었는가?
- 역함수를 주장하기 전에 전단사임을 확인했는가?
- 무한집합에 유한집합의 직관을 그대로 적용하지 않았는가?
- 대각선 논법에서 만든 원소가 그 집합에 실제로 속하는지 확인했는가?
- 집합의 등식을 양쪽 포함으로 증명할 수 있습니다.
- 집합 법칙을 논리 법칙에서 번역해 얻을 수 있습니다.
- 주어진 대응이 함수인지, 단사인지, 전사인지 판정하고 증명하거나 반례를 들 수 있습니다.
- 역함수의 존재를 전단사로 판정하고 실제로 구할 수 있습니다.
- 어떤 집합이 셀 수 있는지 판정하고 나열 규칙을 제시할 수 있습니다.
- 대각선 논법으로 셀 수 없음을 증명할 수 있습니다.
30강부터 시작하는 03단원 수와 식의 구조는 이 단원의 도구를 계산 쪽으로 되돌립니다. 복소수를 실수의 순서쌍으로 정의할 때 26강의 곱집합을 쓰고, 31강의 합과 곱 기호를 다룰 때 22강의 한정 기호와 25강의 귀납법을 쓰며, 32강의 점화식을 닫힌 형태로 바꿀 때 25강의 강한 귀납법이 검증 도구가 됩니다.