이 단원은 S1의 마지막이며 두 가지 도구를 만듭니다. 하나는 값을 순서대로 늘어놓고 더하는 수열이고, 다른 하나는 경우의 수를 세는 조합론입니다.
먼저 정의역이 자연수뿐인 함수인 수열을 세우고, 차가 일정한 등차수열과 비가 일정한 등비수열의 일반항과 합을 유도합니다. 시그마 기호로 합을 짧게 쓰는 법도 익힙니다. 그다음 순서가 중요한지에 따라 순열과 조합을 나누어 세는 법을 만들고, 마지막으로 두 갈래를 합쳐 (a+b)n의 전개식을 이항정리로 완성합니다.
이 단원의 도구는 뒤에서 곧바로 쓰입니다. 급수와 테일러 전개가 수열의 합이고, 121강 이후의 확률이 경우의 수를 세는 데서 출발하며, 이항분포의 확률이 이항계수 그대로입니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 됩니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 이 단원은 18,19,20강 순서로 읽어야 합니다.
- 4강의 부분분수가 손에 붙어 있어야 18강의 망원합이 바로 보입니다.
- 13강의 지수함수 감각이 있어야 등비수열이 왜 등차수열보다 빨리 커지는지 이해됩니다.
- 19강의 조합을 세우지 않으면 20강의 이항계수가 근거 없는 기호로만 남습니다.
- 2강 심화 1에서 (a+b)3의 계수를 셈으로 설명한 대목이 20강의 출발점입니다.
- 등차수열과 등비수열, 시그마
- 순열과 조합
- 이항정리
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- 등차수열과 등비수열, 시그마
늘어놓은 수의 규칙을 적는 문제를 풀며 수열과 일반항, 등차와 등비의 합 공식, 시그마 기호와 성질, 망원합을 끌어냅니다.
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- 순열과 조합
경우를 세는 문제를 풀며 합의 법칙과 곱의 법칙, 계승, 순열과 조합, 같은 것이 있는 순열, 원순열, 여사건과 포함배제를 세웁니다.
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- 이항정리
(a+b)5의 계수를 세는 문제에서 이항정리를 유도하고 일반항, 파스칼의 삼각형, 대입으로 얻는 항등식, 항의 존재 판정을 다룹니다.
- 등차수열에서 n번이 아니라 n−1번 더한다는 것을 지켰는가?
- 합 공식을 쓰기 전에 항의 개수를 세었는가?
- 등비수열의 합에서 공비가 1인지 확인했는가?
- 시그마에서 곱이나 거듭제곱을 나누려 하지 않았는가?
- 세기 전에 순서가 결과를 바꾸는지 판단했는가?
- 같은 것이 있으면 중복해 센 만큼 나누었는가?
- 이항정리에서 구한 k가 정수이고 범위 안에 있는지 확인했는가?
- 등차수열과 등비수열의 일반항과 합을 유도해서 쓸 수 있습니다.
- 시그마 기호로 합을 쓰고 성질을 적용해 계산할 수 있습니다.
- 망원합으로 항이 많은 합을 양 끝만으로 구할 수 있습니다.
- 순열과 조합을 상황에 맞게 골라 경우의 수를 셀 수 있습니다.
- 여사건과 포함배제로 직접 세기 어려운 경우를 처리할 수 있습니다.
- 이항정리로 특정 항의 계수를 전개 없이 구할 수 있습니다.
20강까지 마치면 수학 기초 다지기가 완결됩니다. 다음은 S2 수학의 언어(21~32강)이며 정의를 읽고 증명을 쓰는 문법을 갖춥니다. 그 뒤 32강 뒤의 관문 1에서 1~32강을 섞어 다시 묻고, 통과하면 33강부터 미적분학이 시작됩니다.