이 책은 도형을 눈으로 보는 데서 출발해, 도형의 성질을 말로 정리하고, 마지막에 좌표와 벡터와 식으로 계산할 수 있게 만든 교본입니다. 목표는 공식을 많이 외우는 것이 아니라, 도형이 왜 그런 성질을 갖는지 스스로 설명하고, 그 성질을 식으로 옮겨 계산까지 할 수 있는 힘을 기르는 것입니다.
이 교본은 새 커리큘럼에서 해체되어 다섯 지점으로 나뉩니다. 삼각비와 삼각함수는 15~17강으로, 벡터기하는 62~65강으로, 미분기하는 102강으로, 변환기하는 352강으로, 사영기하는 카메라 모델을 세우는 384~388강으로 옮겨갑니다. 기하를 독립 교본으로 두면 필요해지는 시점이 네 곳으로 흩어져 학습 순서가 무너지기 때문입니다. 전체 학습 순서는 00. 학습 순서와 커리큘럼에 있습니다.
- 점, 선, 각, 삼각형, 원처럼 가장 기본이 되는 도형의 성질을 공리에서부터 다시 세웁니다.
- 삼각비, 좌표, 벡터를 이용해 도형을 숫자로 다루는 언어를 순서대로 익힙니다.
- 변환, 곡률, 위상처럼 현대 기하와 AI에서 다시 만나는 관점을 앞에서 배운 언어로 읽습니다.
이 책의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 공식은 외워야 할 대상이 아니라 방금 푼 풀이를 짧게 줄인 것입니다.
각 개념은 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
그 뒤에 종합 문제 드릴과 심화 문제가 이어지고, 단원 끝에서 문제집이 전체를 통합합니다. 순서대로 따라가기만 해도 이 과목의 개념과 문제 유형을 전부 익히도록 설계했습니다.
그래서 읽는 방법도 다음과 같습니다.
- 문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 괜찮습니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 처음부터 끝까지 순서대로 읽습니다. 뒤 단원은 앞 단원의 정의와 성질을 이미 알고 있다고 가정합니다.
- 도형이 나오면 먼저 손으로 그려 봅니다. 그림을 그리면 성질이 보이고, 성질이 보이면 증명이 따라옵니다.
- 성질이 나오면 먼저 말로 읽고, 그다음에 증명을 따라가고, 마지막에 숫자로 검산합니다.
- 막히면 뒤로 더 가기보다 바로 앞 정의와 예시로 돌아옵니다.
- 유클리드 기하
- 삼각법
- 좌표기하(해석기하)
- 벡터기하
- 변환기하
- 미분기하 입문
- 위상수학 맛보기
이 순서는 눈으로 보는 기하에서 시작해 점점 더 계산 가능한 기하로 나아가도록 배치했습니다. 앞에서 도형의 성질을 충분히 익힌 뒤에, 그 성질을 좌표와 벡터로 옮기고, 다시 변환과 곡률로 확장합니다.
- 점, 선, 각의 공리에서 출발해 삼각형의 합동과 닮음, 원의 성질, 다각형의 넓이까지 눈으로 보는 기하의 뼈대를 세웁니다.
- 증명이라는 말이 무엇인지, 왜 성질을 공리에서 이끌어내야 하는지를 배웁니다.
- 직각삼각형의 변의 비에서 삼각비를 정의하고, 이를 각으로 확장해 삼각함수를 만듭니다.
- 사인 법칙과 코사인 법칙으로 임의의 삼각형을 계산하고, 삼각항등식으로 식을 다룹니다.
- 도형을 좌표평면 위에 올려 방정식으로 다룹니다.
- 직선, 원뿔곡선, 극좌표와 매개변수까지 도형을 식으로 읽는 법을 익힙니다.
- 벡터의 내적과 외적으로 길이, 각, 넓이, 부피를 계산합니다.
- 3차원 공간에서 직선과 평면의 방정식, 점과 도형 사이의 거리를 다룹니다.
- 평행이동, 회전, 반사를 도형을 옮기는 규칙으로 보고, 이를 행렬로 통일합니다.
- 원근을 다루는 사영변환의 기초까지 확장합니다.
- 곡선이 얼마나 휘는지를 곡률로, 곡면의 접평면과 휘어짐을 가우스 곡률로 읽습니다.
- 곡면 위 최단 경로인 측지선의 개념을 개관합니다.
- 길이와 각을 잊고, 늘이고 구부려도 변하지 않는 성질을 다룹니다.
- 연속변형과 오일러 지표로 도형을 분류하는 첫걸음을 뗍니다.
- 먼저 이 강의에서 무엇을 할 수 있게 되는지 밝힙니다.
- 그다음 오늘 쓸 기호를 정리합니다.
- 개념마다 정의를 세우고, 성질을 이끌어낸 뒤, 직관으로 정리하고, 바로 문제로 확인합니다.
- 마지막에 유형을 정리하고, 종합 문제와 스스로 점검으로 마무리합니다.
이 책을 끝내면 도형을 눈으로만 보는 단계를 넘어, 도형의 성질을 증명으로 세우고, 좌표와 벡터로 계산하며, 변환과 곡률의 관점으로 다시 읽을 수 있어야 합니다. 더 중요한 목표는 낯선 도형이나 식을 보았을 때, 먼저 그려 보고, 성질을 말로 옮기고, 식으로 검산하는 습관을 몸에 붙이는 것입니다.