이 단원은 S3의 마지막 단원이며 58강부터 61강까지를 맡습니다. 05단원의 관점을 복소수로 확장하고, 함수를 분해하는 두 번째 방법을 세웁니다.
출발점은 56강 심화 3에서 형식적으로 해 본 계산입니다. ex의 급수에 ix를 넣었더니 cosx+isinx가 나왔는데, 그때는 복소수 지수를 정의하지 않은 상태였습니다. 58강에서 ez를 급수로 정의하고 그 계산을 정리로 확립합니다.
그러고 나면 지수함수와 삼각함수가 하나로 묶입니다. 별개로 배운 두 함수가 실은 같은 하나의 함수를 실수축과 허수축에서 본 것이었습니다. 17강의 삼각 항등식이 전부 지수법칙에서 나오고, 51강에서 부분적분을 두 번 하고 연립방정식을 풀어 얻은 적분이 한 줄로 끝납니다.
그 위에서 푸리에 분해가 세워집니다. 56강의 테일러가 함수를 거듭제곱으로 쪼갰다면, 여기서는 진동으로 쪼갭니다. 두 분해가 경쟁하는 것이 아니라 서로 다른 질문에 답합니다.
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테일러 |
푸리에 |
| 재료 |
(x-c)^ |
e^ |
| 쓰는 정보 |
한 점의 도함수 |
전 구간의 적분 |
| 성격 |
국소적 |
전역적 |
| 불연속 함수 |
다룰 수 없습니다 |
다룰 수 있습니다 |
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 다른 단원과 구별되는 성격이 있습니다. 어려운 문제를 복소수로 우회해 푸는 방식이 반복됩니다. 답이 실수인데 중간 과정에 복소수를 거치는 것이 처음에는 이상해 보이지만, 계산량이 크게 줄어듭니다. 58강의 적분과 삼각급수, 59강의 계수 추출, 61강의 합성곱이 모두 그 구조입니다.
또 하나 눈여겨볼 것은 두 세계 사이의 사전입니다. 시간 영역과 진동수 영역에서 연산이 서로 바뀝니다.
| 시간 영역 |
진동수 영역 |
| 미분 |
ik 곱하기 |
| 이동 |
위상 회전 |
| 좁히기 |
넓히기 |
| 합성곱 |
곱셈 |
어려운 연산이 쉬운 연산으로 바뀌는 것이 이 단원 전체의 실용적 가치입니다.
- 이 단원은 58,59,60,61강 순서로 읽어야 합니다.
- 30강의 복소수와 극형식, 대수학의 기본정리가 58강의 출발점입니다.
- 56강의 ex, sin, cos 급수가 58강 오일러 공식의 재료입니다.
- 20강의 이항정리가 58강 심화 1의 지수법칙 증명에 쓰입니다.
- 17강의 삼각 항등식이 58강에서 지수법칙의 결과로 재유도됩니다.
- 48강의 리만합이 60강에서 급수를 적분으로 옮기는 다리입니다.
- 51강의 부분적분이 59강 계수 계산에 필요합니다.
- 53강의 가우스 적분이 60강 심화 1의 초기값입니다.
- 55강 심화 4의 코시 곱이 61강 심화 4의 이산 합성곱과 같은 구조입니다.
- 오일러 공식과 복소지수
- 푸리에 급수
- 푸리에 변환
- 합성곱 정리
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- 오일러 공식과 복소지수
ez를 급수로 정의하고 오일러 공식을 증명합니다. 드무아브르로 삼각 항등식을 재유도하고, 실수 문제를 복소로 우회하는 전략을 세우며, 복소로그의 다가성과 가지 자름을 다룹니다.
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- 푸리에 급수
직교성으로 계수를 뽑아 주기함수를 진동으로 분해합니다. 디리클레 정리로 수렴을 판정하고 깁스 현상을 정량화하며, 파스발 항등식으로 ∑n21=6π2을 유도합니다.
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- 푸리에 변환
주기를 무한대로 보내 급수를 적분으로 바꿉니다. 상자와 가우스의 변환을 계산하고 이동·스케일·미분 성질을 세우며, 불확정성 원리와 플랑슈렐 정리를 다룹니다.
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- 합성곱 정리
두 함수를 섞는 연산을 정의하고 변환하면 곱셈이 됨을 증명합니다. 확률변수의 합, 신호 필터링, 이미지 처리, 신경망이 모두 같은 구조임을 밝히고 FFT로 빠르게 계산하는 방법을 다룹니다.
- ∣ez∣를 eRez로 정확히 계산했는가?
- 복소로그를 쓸 때 가지를 명시했는가?
- 로그법칙이 2πi만큼 어긋날 수 있음을 고려했는가?
- 푸리에 계수를 구하기 전에 짝·홀 대칭을 확인했는가?
- 불연속점에서 급수가 중점으로 수렴함을 기억했는가?
- 깁스 초과가 사라지지 않는다는 점을 놓치지 않았는가?
- 푸리에 변환의 관례(2π1의 위치)를 확인했는가?
- 함수를 좁히면 변환이 넓어진다는 방향을 맞게 썼는가?
- 합성곱에서 뒤집기를 빠뜨리지 않았는가?
- 합성곱과 상관을 구별했는가?
- 복소지수를 자유롭게 다루고 삼각 항등식을 지수법칙으로 유도할 수 있습니다.
- 주기함수를 푸리에 급수로 분해하고 수렴을 판정할 수 있습니다.
- 파스발 항등식으로 여러 급수의 합을 구할 수 있습니다.
- 푸리에 변환의 성질로 미분방정식을 대수방정식으로 바꿀 수 있습니다.
- 합성곱을 계산하고 그것이 나타나는 여러 상황을 알아볼 수 있습니다.
- 시간과 진동수의 맞바꿈을 설명할 수 있습니다.
이 단원의 도구는 이 커리큘럼에서 가장 멀리까지 쓰입니다.
| 강의 |
쓰이는 곳 |
| 58 오일러 공식 |
77강 직교기저, 143강 특성함수 |
| 59 푸리에 급수 |
79강 내적공간, 410강 스펙트로그램 |
| 60 푸리에 변환 |
143강 중심극한정리, 384강 확산 모형 |
| 61 합성곱 |
129강 확률변수 합, 248강 합성곱 신경망 |
특히 59강에서 계수 추출을 함수 공간의 정사영으로 본 관점이 62강부터 시작하는 선형대수학에서 정식 언어를 얻습니다. 직교성, 내적, 정규직교기저가 그때 벡터의 언어로 다시 정의되며, 푸리에 급수가 그 대표적인 예가 됩니다.