이 단원은 S2의 마지막 단원이며 30강부터 32강까지를 맡습니다. 01단원과 02단원에서 논리와 집합이라는 언어를 갖췄으니, 이제 그 언어로 수와 식을 다시 정리합니다.
먼저 실수에서 풀리지 않던 x2+1=0을 풀기 위해 복소수를 세우고, 복소평면과 극형식으로 곱셈이 회전이라는 사실을 확인합니다. 그다음 18강부터 써 온 시그마 기호의 조작 규칙을 정하고, 어떤 변형이 허용되고 어떤 것이 안 되는지 반례로 못 박습니다. 마지막으로 점화식에서 닫힌 형태를 만들어 내는 표준 절차를 익힙니다.
세 강의가 공통으로 하는 일이 있습니다. 앞에서 결과만 쓰던 것에 근거를 붙이는 것입니다. 6강의 "실근이 없습니다"가 30강에서 완결되고, 18강의 시그마 성질이 31강에서 정의로부터 유도되며, 25강에서 검증만 했던 일반항이 32강에서 직접 만들어집니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
이 단원은 01단원, 02단원과 달리 계산이 많습니다. 복소수 나눗셈, 시그마 조작, 점화식 풀이는 모두 손으로 여러 번 해 봐야 빨라집니다. 눈으로 따라가는 것으로는 시험장에서 손이 나오지 않습니다.
- 이 단원은 30,31,32강 순서로 읽어야 합니다.
- 5강의 근의 공식과 6강의 판별식이 30강과 32강에서 계속 쓰입니다.
- 15강부터 17강까지의 삼각함수, 특히 17강의 덧셈정리가 없으면 30강의 극형식 곱셈을 유도할 수 없습니다.
- 18강의 수열 합 공식과 4강의 부분분수가 31강의 도구입니다.
- 25강의 귀납법이 30강의 드무아브르 정리와 32강의 닫힌 형태 검증에 쓰입니다.
- 20강의 이항정리가 32강 심화 1에서 비네 공식이 정수를 주는 이유를 설명합니다.
- 복소수와 극형식
- 합 기호와 곱 기호의 조작
- 점화식과 닫힌 형태
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- 복소수와 극형식
x2+1=0을 푸는 문제에서 허수단위와 복소수를 끌어내고, 켤레와 절댓값, 복소평면과 극형식, 드무아브르 정리, n제곱근과 대수학의 기본정리를 세웁니다.
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- 합 기호와 곱 기호의 조작
시그마를 정의에서 다시 세우고 선형성과 그 한계, 지표 이동과 뒤집기, 망원합, 이중합의 순서 교환, 곱 기호와 로그 변환을 다룹니다.
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- 점화식과 닫힌 형태
점화식에서 닫힌 형태를 만드는 절차를 만들며 고정점 이동, 계차형과 합, 특성방정식, 중근과 허근의 처리를 익힙니다.
- 복소수 나눗셈에서 분모의 켤레를 곱했는가?
- 편각을 정할 때 사분면을 함께 확인했는가?
- n제곱근을 구할 때 2kπ를 더한 뒤 나누었는가?
- 실수의 부등식 성질을 복소수에 그대로 쓰지 않았는가?
- 시그마 밖으로 뺀 것이 정말 지표와 무관한가?
- 곱을 시그마 밖으로 빼려 하지 않았는가?
- 지표를 옮길 때 범위를 함께 바꿨는가?
- 이중합의 순서를 바꿀 때 부등식 조건을 먼저 적었는가?
- 계차형에서 합의 위끝을 n−1로 두었는가?
- 특성방정식이 중근일 때 nαn을 더했는가?
- 찾은 닫힌 형태를 작은 n으로 검산했는가?
- 복소수를 사칙연산하고 극형식으로 거듭제곱과 n제곱근을 구할 수 있습니다.
- 복소평면에서 곱셈을 회전과 확대로 읽을 수 있습니다.
- 시그마와 파이를 정확히 조작하고 잘못된 조작을 반례로 지적할 수 있습니다.
- 망원합과 지표 이동으로 합을 닫힌 형태로 만들 수 있습니다.
- 점화식을 보고 어느 방법으로 풀지 판단해 닫힌 형태를 유도할 수 있습니다.
32강까지 마치면 수학의 언어가 완결됩니다. 바로 뒤에 관문 1이 있으며 1강부터 32강까지를 섞어 다시 묻습니다. 정답률 80퍼센트를 넘지 못하면 부족한 단원으로 돌아옵니다. 통과하면 33강부터 미적분학이 시작되고, 그 첫 주제인 수열의 극한이 32강에서 만든 닫힌 형태를 곧바로 씁니다.