이 단원은 커리큘럼에서 가장 오래 쓰이는 대상인 함수를 정의부터 세웁니다. 6강에서 이차함수를 다뤘지만 함수가 무엇인지는 정의하지 않고 지나갔으므로, 여기서 그 빚을 갚습니다. 먼저 함수를 대응 규칙으로 정의하고 어떤 대응이 함수가 아닌지 가려냅니다. 그다음 다항함수와 유리함수의 개형과 점근선을 읽고, 함수를 이어 붙이는 합성과 되돌리는 역함수를 다루며, 마지막으로 그래프를 옮기고 접는 변환 규칙을 정리합니다.
이 단원의 내용은 33강부터 시작하는 미적분의 대상이 무엇인지 분명히 해 줍니다. 미분은 함수의 변화를 재는 일이고, 연쇄법칙은 합성함수의 미분 규칙이며, 로그는 지수함수의 역함수입니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 됩니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 이 단원은 9,10,11,12강 순서로 읽어야 합니다.
- 4강에서 정의역을 확인하는 습관을 들이지 않으면 9강의 정의역 계산이 매번 새롭게 느껴집니다.
- 3강의 인수분해와 6강의 표준형이 손에 붙어 있어야 10강에서 개형을 빠르게 그릴 수 있습니다.
- 9강의 일대일 개념을 세우지 않으면 11강의 역함수 존재 조건이 근거 없는 규칙으로만 남습니다.
- 6강과 10강에서 표준형으로 고쳐 그래프를 읽은 경험이 12강에서 일반 규칙으로 정리됩니다.
- 함수의 개념과 그래프
- 다항함수와 유리함수
- 합성함수와 역함수
- 그래프의 평행이동과 대칭
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- 함수의 개념과 그래프
어떤 대응이 함수이고 어떤 대응이 아닌지 가리는 문제를 풀며 정의역, 공역, 치역, 세로선 판정, 일대일과 위로를 끌어냅니다.
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- 다항함수와 유리함수
기울기와 개형과 점근선을 묻는 문제를 풀며 변화율, 끝 모양 판정, 부호 표, 유리함수의 표준형, 차수 비교를 세웁니다.
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- 합성함수와 역함수
함수를 이어 붙이고 되돌리는 문제를 풀며 합성의 비가환성, 항등함수, 역함수의 존재 조건, y=x 대칭, 순서 뒤집힘을 얻습니다.
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- 그래프의 평행이동과 대칭
옮기고 접는 문제를 풀며 역추적 절차, 대칭이동, 우함수와 기함수, 절댓값 그래프, 변환의 순서를 다룹니다.
- 함수를 적을 때 식과 정의역을 한 쌍으로 적었는가?
- 치역을 그래프로 읽었는가, x에 대해 풀어 확인했는가?
- 유리함수를 만나면 나눗셈으로 몫과 나머지를 갈라 놓았는가?
- 합성에서 어느 함수가 먼저 적용되는지 헷갈리지 않았는가?
- 역함수를 구하기 전에 일대일인지 확인했는가?
- 평행이동에서 부호를 반대로 넣지 않았는가?
- 주어진 대응이 함수인지 판정하고 정의역과 치역을 구할 수 있습니다.
- 다항함수의 개형과 유리함수의 점근선을 식만 보고 그릴 수 있습니다.
- 합성함수를 계산하고 그 정의역을 정확히 구할 수 있습니다.
- 역함수의 존재를 판정하고 구하며 그래프 대칭을 설명할 수 있습니다.
- 여러 변환이 겹친 식에서 적용 순서를 정해 그래프를 그릴 수 있습니다.
- 우함수와 기함수를 판정해 조사 범위를 절반으로 줄일 수 있습니다.