이 책은 고등학교 수학을 마친 사람이 대학 수학의 언어로 넘어가도록 돕는 교본입니다. 고등학교까지는 "계산이 맞는가"를 주로 물었다면, 대학 수학부터는 "그 주장이 참인 이유를 끝까지 말할 수 있는가"를 묻습니다. 이 책은 그 전환을 논리와 집합에서 시작해 이산수학, 복소수, 해석학, 변환까지 순서대로 이어 갑니다.
이 교본의 내용은 새 커리큘럼에서 S2 수학의 언어(21~32강)가 됩니다. 논리, 집합, 증명 단원이 문제풀이 선행형으로 다시 쓰이고 복소수와 극형식, 점화식이 여기로 들어옵니다. 지수와 로그, 삼각함수, 순열과 조합은 그 앞에 새로 놓이는 S1 수학 기초 다지기(1~20강)로 내려갑니다. 복소해석과 해석학 입문 단원은 이 트랙에서 쓰이지 않으므로 뺍니다. 전체 학습 순서는 00. 학습 순서와 커리큘럼에 있습니다.
- 명제, 집합, 함수, 증명처럼 모든 수학이 딛고 서는 바닥 언어를 정확하게 다시 세웁니다.
- 세는 수학(이산수학), 복소수의 세계, 극한을 엄밀하게 다루는 해석학을 차례로 익힙니다.
- 푸리에와 라플라스 변환, 수치해석처럼 공학과 AI에서 바로 쓰는 응용 수학까지 연결합니다.
이 책의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 공식은 외워야 할 대상이 아니라 방금 푼 풀이를 짧게 줄인 것입니다.
각 개념은 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
그 뒤에 종합 문제 드릴과 심화 문제가 이어지고, 단원 끝에서 문제집이 전체를 통합합니다. 순서대로 따라가기만 해도 이 과목의 개념과 문제 유형을 전부 익히도록 설계했습니다.
그래서 읽는 방법도 다음과 같습니다.
- 문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 괜찮습니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 처음부터 끝까지 순서대로 읽습니다. 뒤 단원은 앞 단원의 정의와 기호를 이미 안다고 가정합니다.
- 정의가 나오면 먼저 말로 읽고, 그다음에 예시를 손으로 따라갑니다.
- 각 강의는 개념 소절마다 문제 드릴이 붙어 있습니다. 눈으로만 읽지 말고 답을 가리고 직접 풀어 봅니다.
- 막히면 뒤로 더 나아가기보다 바로 앞 정의와 예시로 돌아옵니다.
- 논리와 집합
- 이산수학
- 복소수와 복소해석 입문
- 해석학 입문
- 변환과 응용수학
이 순서는 "먼저 말하는 법을 배우고, 그 위에 세는 법과 극한을 올린다"는 원칙을 따릅니다. 논리와 증명이 흔들리면 뒤의 모든 단원이 흔들리므로 1단원을 가장 단단하게 다집니다.
- 명제와 논리 연산, 집합과 함수, 관계와 동치, 그리고 증명법을 배웁니다.
- 이후 모든 단원에서 쓰는 "정확하게 말하고 정확하게 증명하는" 언어를 세웁니다.
- 경우의 수를 세는 조합론, 점과 선으로 관계를 그리는 그래프, 점화식과 생성함수, 정수의 합동을 배웁니다.
- 셀 수 있는 대상을 다루는 수학의 도구를 모읍니다.
- 복소수를 극형식으로 읽고, 오일러 공식으로 지수와 삼각함수를 잇고, 해석함수의 첫 개념을 봅니다.
- 실수의 성질, 수열과 급수의 엄밀한 수렴, 연속과 일양연속, 리만적분의 엄밀화를 배웁니다.
- 고등학교의 "극한 감각"을 ε-δ 언어로 엄밀하게 다시 씁니다.
- 푸리에 급수와 변환, 라플라스 변환, 수치해석의 기초를 배웁니다.
- 신호와 함수를 주파수의 언어로 바꾸고, 컴퓨터로 수를 다루는 법을 봅니다.
- 먼저 그 강의에서 할 수 있게 되는 것을 밝힙니다.
- 오늘 쓸 기호를 표로 정리합니다.
- 개념을 소절 단위로 정의하고 유도한 뒤, 소절마다 문제 드릴로 손을 씁니다.
- 유형 총정리(치트시트)와 종합 문제 드릴, 스스로 점검으로 마무리합니다.
낯선 정리를 만났을 때 정의로 돌아가 스스로 증명을 시도할 수 있고, 세는 문제와 극한 문제와 변환 문제를 각각의 언어로 옮겨 풀 수 있게 됩니다. 더 중요한 목표는 "왜 참인가"를 끝까지 따지는 습관을 몸에 붙이는 것입니다.