이 교본은 선형대수학을 정통 교과 순서로 처음부터 끝까지 쌓아 올리는 강의 교본입니다. 벡터 하나에서 출발해 공간, 행렬, 선형변환, 고유값, 내적, 특이값분해까지 한 줄기로 이어지도록 배치했습니다. 목표는 공식을 많이 외우는 것이 아니라, 정의에서 정리로 이어지는 유도를 스스로 따라가고, 각 식이 공간에서 무엇을 뜻하는지 끝까지 읽어 내는 힘을 만드는 것입니다.
이 교본은 새 커리큘럼에서 S4 선형대수학(62~92강)이 되며 7단원 31강으로 넓어집니다. 한 변수 미적분(S3)을 마친 뒤에 읽고, 이 책을 마쳐야 다변수 미적분과 최적화(S5)로 넘어갈 수 있습니다. 특이값 분해와 주성분분석에 더해, 노름과 조건수, 부동소수점을 다루는 수치와 안정성 단원이 새로 붙습니다. 이 단원은 뒤에서 그래디언트 폭발(246강), 플래시어텐션(306강), 혼합 정밀도와 양자화(429강)의 근거가 됩니다. 전체 학습 순서는 00. 학습 순서와 커리큘럼에 있습니다.
- 벡터와 벡터공간을 엄밀한 정의에서 출발해 다시 세웁니다.
- 행렬을 계산표가 아니라 선형변환의 표현으로 읽습니다.
- 고유값, 대각화, 스펙트럴 정리로 행렬의 내부 구조를 봅니다.
- 내적, 직교, 최소제곱, QR, SVD로 근사와 압축의 언어를 익힙니다.
- 이차형식, 조르당 표준형, 텐서곱 같은 심화 주제까지 확장합니다.
이 교본의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 공식은 외워야 할 대상이 아니라 방금 푼 풀이를 짧게 줄인 것입니다.
각 개념은 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
그 뒤에 종합 문제 드릴과 심화 문제가 이어지고, 단원 끝에서 문제집이 전체를 통합합니다. 순서대로 따라가기만 해도 이 과목의 개념과 문제 유형을 전부 익히도록 설계했습니다.
그래서 읽는 방법도 다음과 같습니다.
- 문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 괜찮습니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 위에서 아래로 강 번호 순서대로 읽습니다. 뒤 강의는 앞 강의의 정의와 정리를 이미 안다고 가정합니다.
- 정의가 나오면 먼저 말로 읽고, 그다음 예시로 확인하고, 마지막에 증명을 따라갑니다.
- 각 개념 아래에는 문제 드릴이 붙어 있습니다. 눈으로만 읽지 말고 손으로 직접 계산합니다.
- 막히면 뒤로 더 가기보다 바로 앞 정의와 예제로 돌아옵니다.
이 교본은 7개 단원, 23개 강의로 구성됩니다.
- 벡터와 공간: 벡터의 정의에서 벡터공간, 기저, 차원까지.
- 행렬과 연립방정식: 행렬 연산, 가우스 소거, 역행렬, 행렬식.
- 선형변환: 선형변환의 표현행렬, 상공간과 영공간, 기저변환.
- 고유값과 대각화: 고유값, 대각화, 대칭행렬의 스펙트럴 정리.
- 내적공간: 내적, 직교성, 그람-슈미트, 최소제곱, QR 분해.
- 특이값과 응용: 특이값분해, 저랭크 근사, 주성분, 유사역행렬.
- 심화: 조르당 표준형, 이차형식, 텐서와 크로네커 곱.
- 벡터와 그 연산에서 시작해 벡터공간과 부분공간의 정의를 세웁니다.
- 일차독립, 기저, 차원으로 공간을 재는 언어를 익힙니다.
- 행렬 연산과 가우스 소거로 연립방정식을 체계적으로 풉니다.
- 계수, 역행렬, LU 분해, 행렬식으로 행렬의 성질을 읽습니다.
- 행렬을 선형변환의 표현으로 보고, 상공간과 영공간을 계수정리로 연결합니다.
- 기저변환으로 같은 변환을 다른 좌표에서 읽는 법을 배웁니다.
- 고유값과 고유벡터로 변환의 불변 방향을 찾습니다.
- 대각화와 대칭행렬의 스펙트럴 정리로 행렬을 방향별 늘리기로 분해합니다.
- 내적과 노름으로 길이와 각도를 정의합니다.
- 그람-슈미트, 직교투영, 최소제곱, QR 분해로 근사를 다룹니다.
- SVD로 모든 행렬을 입력 방향, 크기, 출력 방향으로 분해합니다.
- 저랭크 근사, 주성분분석, 유사역행렬로 압축과 일반해를 봅니다.
- 대각화가 안 되는 행렬을 조르당 표준형으로 다룹니다.
- 이차형식의 정부호성과 텐서, 크로네커 곱의 기초를 익힙니다.
AI를 위한 수학의 02. 벡터와 행렬의 시작 단계와 주제가 겹치는 부분이 있습니다. 그 교본은 AI 수식을 빨리 읽기 위한 직관 중심의 흐름이고, 이 교본은 정의와 증명을 갖춘 정통 교본입니다. 겹치는 주제에서는 이 교본이 본류이며, 관련 강의에서 AI를 위한 수학의 대응 강의를 함께 볼 수 있도록 링크로 안내합니다.
각 강의의 정의를 스스로 진술하고, 핵심 정리를 유도하며, 계산 문제를 손으로 풀 수 있게 됩니다. 나아가 회귀, 차원축소, 임베딩, 신경망 계산 같은 응용에서 마주치는 선형대수 언어를 정확히 읽어 낼 준비가 됩니다.