이 책은 474개 강의로 이루어진 커리큘럼의 두 번째 과목이며 S2에 해당하고 21강부터 32강까지를 맡습니다. 정의를 읽고 증명을 쓰는 문법을 갖추는 것이 목적입니다. 뒤의 모든 과목이 여기의 기호를 씁니다. 전체 학습 순서는 00. 학습 순서와 커리큘럼에 있습니다.
앞 과목인 수학 기초 다지기를 마쳤다고 가정합니다. 1강부터 20강까지가 값을 구하는 훈련이었다면, 이 책은 주장을 다루는 훈련입니다. 계산이 맞는지가 아니라 주장이 참인지, 참이라면 왜 참인지를 적습니다.
33강부터 시작되는 미적분학의 정리는 이런 모양입니다.
닫힌구간에서 정의된 모든 연속함수 에 대하여, 가 최대가 되는 점 가 그 구간 안에 존재합니다.
이 한 문장을 정확히 읽으려면 "모든"과 "존재합니다"의 순서가 무엇을 뜻하는지, "연속"이 정의로 무엇인지, 이 문장이 거짓이 되려면 무엇이 필요한지를 알아야 합니다. 셋 다 이 책에서 만듭니다. 여기를 건너뛰면 뒤의 모든 정리가 외워야 할 주문이 되고, 조건 하나를 빼면 왜 무너지는지 설명할 수 없게 됩니다.
이 책의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 공식은 외워야 할 대상이 아니라 방금 푼 풀이를 짧게 줄인 것입니다.
각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
한 강의는 개념 문제, 종합 문제 드릴, 심화 문제, 그리고 단원 문제집의 네 겹으로 이루어집니다. 네 겹을 모두 손으로 풀어야 한 강의가 끝납니다.
증명을 다루는 책이므로 특별히 지킬 것이 하나 있습니다. 증명은 눈으로 읽는 것으로 익혀지지 않습니다. 읽고 이해했다고 느낀 증명을 책을 덮고 다시 써 보면 대부분 첫 줄에서 막힙니다. 반드시 손으로 다시 씁니다.
각 강의의 마지막에는 코드 검산 항목이 있습니다. 손으로 구한 결과를 numpy 몇 줄로 다시 확인합니다. 다만 이 책에서는 코드의 한계도 함께 배웁니다. 코드는 반례를 찾는 데는 강하지만 전칭 명제를 증명하지는 못합니다.
정의를 읽고 증명을 쓸 수 있게 됩니다. 남이 쓴 증명에서 잘못된 단계를 지목할 수 있고, 거짓인 주장에서 반례를 찾아낼 수 있습니다. 여기까지 오면 32강 뒤의 관문 1에서 1강부터 32강까지를 섞어 다시 묻습니다. 정답률 퍼센트를 넘으면 33강부터 미적분학이 시작됩니다.
이 책의 내용은 재편 전 교본인 대학수학의 논리, 집합, 증명 단원과 겹칩니다. 그 교본이 필요한 기호를 빠르게 훑었다면, 이 책은 같은 주제를 문제풀이 선행형으로 훨씬 촘촘하게 다룹니다. 겹치는 곳에서는 이 책이 정본입니다. 대학수학에 있던 복소해석과 해석학 입문은 이 트랙에서 쓰이지 않으므로 옮기지 않았습니다.
세 단원 12강이 모두 완성되었습니다. 다음은 관문 1이며, 통과하면 S3 미적분학 I(33~61강)로 넘어갑니다.