이 단원은 01단원에서 만든 식 다루는 손 위에 등호와 부등호를 얹습니다. 먼저 일차방정식과 이차방정식을 풀고 근의 공식을 유도합니다. 그다음 같은 이차식을 함수로 보고 그래프를 그려, 근의 개수라는 계산 문제를 곡선이 x축을 몇 번 만나는가라는 눈에 보이는 질문으로 바꿉니다. 이어서 미지수가 여럿인 연립방정식에서 해가 하나인지 없는지 무수히 많은지를 갈라 보고, 마지막으로 부등식을 다루며 값을 정확히 모르더라도 범위로 결론을 내는 법을 배웁니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 됩니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 이 단원은 5,6,7,8강 순서로 읽어야 합니다.
- 3강의 인수분해가 손에 붙어 있어야 5강의 방정식 풀이가 막히지 않습니다.
- 5강에서 근의 공식을 유도하고 근호 안의 값을 만들어 두지 않으면, 6강의 판별식이 근거 없는 공식으로만 남습니다.
- 6강의 그래프 감각이 있어야 8강에서 이차부등식을 그림으로 읽을 수 있습니다.
- 1강에서 절댓값을 거리로 읽은 경험이 8강의 절댓값 부등식에서 그대로 쓰입니다.
- 일차방정식과 이차방정식
- 이차함수와 판별식
- 연립방정식
- 부등식과 절댓값
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- 일차방정식과 이차방정식
계수에 문자가 있는 방정식과 인수분해가 막힌 이차방정식을 풀며 경우 나누기, 완전제곱, 근의 공식, 근과 계수의 관계, 치환을 끌어냅니다.
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- 이차함수와 판별식
최솟값과 교점 개수를 묻는 문제를 풀며 표준형, 꼭짓점, 판별식, 구간에서의 최대와 최소, 접하는 조건을 세웁니다.
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- 연립방정식
조건이 여럿인 상황을 다루며 대입법과 가감법, 해의 개수 판정, 직선의 위치 관계, 대칭식 활용을 얻습니다.
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- 부등식과 절댓값
범위를 묻는 문제를 풀며 부등호가 뒤집히는 자리, 분수부등식, 절댓값 부등식, 산술기하평균, 부등식 증명 절차를 다룹니다.
- 나누려는 식이 0이 될 수 있는지 확인했는가?
- 이차방정식을 만나면 인수분해와 근의 공식 중 어느 쪽이 짧은지 판단했는가?
- 판별식이 개수만 정하고 위치는 정하지 않는다는 점을 기억하고 있는가?
- 연립방정식의 해를 처음 식 전부에 대입해 검산했는가?
- 부등식에서 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호를 뒤집었는가?
- 산술기하평균을 쓸 때 등호를 만드는 값이 정의역 안에 있는지 확인했는가?
- 계수에 문자가 든 방정식을 경우를 나누어 빠짐없이 풀 수 있습니다.
- 근의 공식과 근과 계수의 관계를 유도해서 쓸 수 있습니다.
- 이차함수의 그래프를 그리고 판별식으로 교점 개수를 판정할 수 있습니다.
- 연립방정식의 해가 하나인지 없는지 무수히 많은지 계수만으로 판정할 수 있습니다.
- 분수부등식과 절댓값 부등식을 안전한 절차로 풀 수 있습니다.
- 산술기하평균으로 최댓값과 최솟값을 구하고 등호 조건을 확인할 수 있습니다.