이 단원은 다항식만으로는 표현할 수 없는 두 종류의 변화를 다룹니다. 하나는 일정한 배수로 커지거나 줄어드는 변화이고, 다른 하나는 되풀이되는 변화입니다. 앞은 지수함수와 그 역함수인 로그함수가 맡고, 뒤는 삼각함수가 맡습니다.
먼저 지수를 정수와 유리수로 넓힌 뒤 지수함수를 세우고, 그 역함수로 로그를 정의합니다. 그다음 직각삼각형에서 시작한 삼각비를 단위원으로 확장해 모든 각으로 넓히고, 그래프로 펼쳐 주기성을 봅니다. 마지막으로 각의 합을 다루는 덧셈정리를 세워 삼각함수 계산의 중심을 만듭니다.
이 단원의 함수들은 뒤에서 계속 나옵니다. 정규분포와 지수분포의 밀도, 소프트맥스와 교차엔트로피 손실, 푸리에 급수와 스펙트로그램, 회전변환과 위치 인코딩이 모두 여기에서 세운 함수로 쓰여 있습니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다. 공식은 암기 대상이 아니라 방금 한 풀이의 요약입니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 됩니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 이 단원은 13,14,15,16,17강 순서로 읽어야 합니다.
- 13강에서 지수함수가 일대일임을 확인해 두지 않으면, 14강에서 로그를 역함수로 정의하는 근거가 없습니다.
- 11강의 역함수와 12강의 대칭이동이 손에 붙어 있어야 14강의 그래프와 15강의 변환 공식이 외울 목록이 되지 않습니다.
- 15강의 단위원을 세우지 않으면 16강의 주기성과 17강의 덧셈정리 유도가 모두 막힙니다.
- 6강의 이차함수와 8강의 부등식이 치환 뒤 계산에서 계속 쓰입니다.
- 지수와 지수함수
- 로그와 로그함수
- 삼각비와 단위원
- 삼각함수의 그래프
- 삼각항등식
-
- 지수와 지수함수
20과 21/2이 무엇이어야 하는지 정하는 문제를 풀며 지수의 확장, 지수법칙, 지수함수의 성질, 지수방정식과 부등식, 증가 속도의 위계를 끌어냅니다.
-
- 로그와 로그함수
2x=3의 답을 적는 문제에서 시작해 로그의 정의, 계산 법칙, 밑변환, 로그함수의 그래프, 진수 조건을 세웁니다.
-
- 삼각비와 단위원
둔각의 삼각비를 정하는 문제를 풀며 삼각비의 정의, 호도법, 단위원 확장, 사분면 부호, 각의 변환 공식, 코사인법칙과 사인법칙을 얻습니다.
-
- 삼각함수의 그래프
단위원을 옆으로 펼치며 주기함수, 진폭과 위상, 탄젠트의 점근선, 삼각방정식과 부등식을 다룹니다.
-
- 삼각항등식
sin75∘을 구하는 문제에서 덧셈정리를 유도하고 배각, 반각, 합성, 곱을 합으로 바꾸는 변형까지 끌어냅니다.
- 지수를 확장할 때 왜 그 값이어야 하는지 설명할 수 있는가?
- 근호가 든 계산을 지수 표기로 바꿔 보았는가?
- 로그를 만나면 진수 조건을 먼저 적었는가?
- 치환한 문자의 범위를 적었는가? 지수는 t>0, 사인과 코사인은 [−1,1]입니다.
- 각을 라디안으로 다루고 있는가?
- 삼각함수의 부호를 단위원 좌표에서 읽었는가?
- 위상을 읽기 전에 표준 꼴로 묶었는가?
- 방정식에서 나누는 대신 이항해 묶었는가?
- 지수법칙을 자유롭게 쓰고 지수방정식과 부등식을 풀 수 있습니다.
- 로그의 계산 법칙과 밑변환을 유도해서 쓸 수 있습니다.
- 상용로그로 자릿수를 구하고 값의 크기를 가늠할 수 있습니다.
- 모든 각의 삼각비를 단위원으로 구하고 부호를 판정할 수 있습니다.
- 삼각함수의 그래프에서 진폭, 주기, 위상을 읽을 수 있습니다.
- 덧셈정리에서 배각, 반각, 합성 공식을 끌어내 방정식을 풀 수 있습니다.