이 단원은 S3의 두 번째 단원이며 37강부터 41강까지를 맡습니다. 01단원에서 만든 극한을 한 번 더 써서 변화율을 정의하고, 어떤 초등함수든 몇 번이든 미분할 수 있는 계산력을 갖춥니다.
출발점은 34강에서 비워 둔 자리입니다. 극한을 정의할 때 0<∣x−a∣라는 조건을 넣어 그 점을 일부러 제외했는데, 미분계수가 바로 그 제외된 자리에서 분모가 0이 되는 식입니다. 01단원이 미리 마련해 둔 구조 위에 02단원이 세워집니다.
이 단원의 도구는 이후 모든 곳에서 쓰입니다. 특히 38강의 연쇄법칙은 216강 이후 신경망의 역전파가 되고, 41강의 이차 도함수는 44강의 볼록성과 106강 이후 최적화의 기준이 됩니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 앞 단원과 다른 성격이 있습니다. 계산량이 많습니다. 미분 규칙은 읽어서 아는 것으로는 부족하고 손이 저절로 나올 때까지 반복해야 합니다. 드릴과 문제집을 건너뛰면 03단원부터 계산에 발목이 잡힙니다.
동시에 계산만 하고 넘어가서도 안 됩니다. 각 강의의 반례가 특히 중요합니다. ∣x∣가 연속이면서 미분 불가능하다는 사실, (fg)′=f′g′이라는 사실, 미분가능한데 C1이 아닌 함수가 있다는 사실이 각각 개념의 경계를 그어 줍니다.
- 이 단원은 37,38,39,40,41강 순서로 읽어야 합니다.
- 34강의 극한 정의와 0<∣x−a∣ 조건이 37강 미분계수의 전제입니다.
- 34강에서 증명한 xsinx→1과 33강에서 정의한 e가 39강에서 각각 쓰입니다.
- 35강의 연속 개념이 37강의 "미분가능하면 연속"과 38강 곱의 미분법 증명에 필요합니다.
- 20강의 이항정리가 37강의 멱법칙과 41강의 라이프니츠 규칙에서 쓰입니다.
- 17강의 덧셈정리가 39강에서 삼각함수 도함수를 유도하는 재료입니다.
- 28강의 역함수 정의가 40강의 역함수 미분법의 출발점입니다.
- 미분계수와 도함수
- 곱, 몫, 연쇄법칙
- 초월함수의 미분
- 음함수와 역함수의 미분
- 고계도함수
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- 미분계수와 도함수
평균변화율의 극한으로 미분계수를 정의하고 접선으로 읽습니다. 멱법칙을 이항정리로 유도하고, 미분가능과 연속의 관계를 정리하며, 미분 불가능의 네 가지 방식을 분류합니다.
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- 곱, 몫, 연쇄법칙
(fg)′=f′g′이 거짓임을 먼저 못 박고 올바른 규칙들을 유도합니다. 가장 바깥 연산으로 규칙을 고르는 판단표를 만듭니다.
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- 초월함수의 미분
지수, 로그, 삼각함수의 도함수를 정의에서 유도합니다. e가 특별한 이유와 호도법이 필요한 이유가 여기서 최종적으로 답을 얻습니다.
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- 음함수와 역함수의 미분
y를 풀지 않고 미분하는 법을 세우고, 같은 도구로 역함수와 역삼각함수의 도함수, 유리수 지수 멱법칙, 관련 변화율까지 얻습니다.
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- 고계도함수
도함수를 반복해 미분하고, 이차 도함수를 가속도와 휘는 방향으로 읽으며, 라이프니츠 규칙과 Cn 계층을 세웁니다.
- 미분계수를 정의로 쓸 때 h→0의 극한임을 지켰는가?
- 미분가능성을 확인하기 전에 연속인지 먼저 봤는가?
- 조각별 함수에서 연속과 기울기 일치를 모두 확인했는가?
- 곱을 미분하면서 두 항을 모두 적었는가?
- 몫의 미분법에서 분자의 순서와 부호를 확인했는가?
- 연쇄법칙에서 안쪽 함수의 도함수를 곱했는가?
- 삼각함수 도함수를 쓸 때 각이 호도법인지 확인했는가?
- 음함수 미분에서 y마다 dxdy를 붙였는가?
- 관련 변화율에서 미분을 먼저 하고 값을 나중에 넣었는가?
- f(n)과 fn을 혼동하지 않았는가?
- 미분계수를 정의로 계산하고 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.
- 어떤 초등함수든 규칙을 조합해 미분할 수 있습니다.
- 미분 불가능한 점을 찾아 그 유형을 분류할 수 있습니다.
- 음함수와 역함수를 미분하고 관련 변화율 문제를 풀 수 있습니다.
- 고계도함수를 일반식으로 구하고 그래프의 휘는 방향을 읽을 수 있습니다.
- 함수가 Cn 계층 중 어디에 속하는지 판정할 수 있습니다.
42강부터 시작하는 03단원 미분의 활용은 이 계산력을 함수의 모양을 읽는 데 씁니다. 출발점은 평균값 정리이며, 41강 심화 3에서 근거 없이 쓴 "도함수가 양수이면 증가한다"가 그때 증명됩니다. 41강에서 미리 본 볼록성은 44강에서, 45강의 로피탈 정리는 41강 심화 4에서 미룬 계산을 갚습니다.