이 단원은 S3의 네 번째 단원이며 48강부터 53강까지를 맡습니다. 03단원까지와 방향이 반대입니다.
지금까지는 함수를 쪼갰습니다. 한 점 근처를 잘게 들여다보고 그 순간의 변화율을 읽었습니다. 이 단원에서는 잘게 쪼갠 것들을 다시 더합니다.
그런데 놀라운 일이 벌어집니다. 이 더하기 작업이 03단원까지 해 온 쪼개기 작업의 정확한 역이라는 사실이 49강에서 밝혀집니다. 접선의 기울기를 구하는 문제와 곡선 아래 넓이를 구하는 문제가 겉보기에는 아무 관련이 없는데, 실은 같은 구조를 양쪽에서 본 것이었습니다. 그 사실이 미적분의 기본정리이며, 미적분학이 하나의 학문인 이유입니다.
적분은 이 커리큘럼에서 넓이보다 훨씬 넓게 쓰입니다. 129강의 확률밀도함수, 178강의 엔트로피, 248강의 합성곱, 384강의 확산 모형이 모두 적분 위에 서 있습니다. 연속적으로 퍼져 있는 양의 총합을 다루는 언어가 적분입니다.
이 단원의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 각 문제는 문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인의 다섯 단계로 진행합니다.
이 단원에는 앞 단원들과 다른 성격이 있습니다. 적분에는 기계적인 절차가 없습니다. 미분은 규칙을 순서대로 적용하면 반드시 끝나지만, 적분은 매번 어떤 기법을 쓸지 사람이 판단해야 합니다. 50강부터 52강까지가 그 기법들이며, 각각이 미분 규칙 하나를 거꾸로 읽은 것입니다.
| 미분 규칙 |
거꾸로 읽으면 |
| 연쇄법칙(38강) |
치환적분(50강) |
| 곱의 미분법(38강) |
부분적분(51강) |
| 대수적 분해(3강, 30강) |
부분분수(52강) |
그리고 이 단원에서 처음으로 적분되지 않는 함수를 만납니다. e−x2의 원시함수는 초등함수가 아니며, 이는 기법이 부족해서가 아니라 정리로 증명된 사실입니다. 미분과 적분의 근본적인 비대칭이 이 단원의 숨은 주제입니다.
- 이 단원은 48,49,50,51,52,53강 순서로 읽어야 합니다.
- 31강의 합 기호 조작과 20강의 ∑k2 공식이 48강의 리만합 계산에 필요합니다.
- 36강의 최대·최소 정리와 중간값 정리가 48강의 적분가능성과 평균값 정리의 근거입니다.
- 42강의 "도함수가 같으면 상수 차이" 따름 정리가 49강 제2기본정리의 뼈대입니다.
- 38강의 연쇄법칙과 곱의 미분법이 각각 50강과 51강의 출발점입니다.
- 30강의 복소수와 대수학의 기본정리가 52강의 완결성 논증에 쓰입니다.
- 45강의 성장 위계가 51강 감마함수와 53강 수렴 판정에서 결정적입니다.
- 33강의 단조수렴정리가 53강 비교판정법의 근거입니다.
- 리만합과 정적분
- 미적분의 기본정리
- 치환적분
- 부분적분
- 부분분수와 유리함수의 적분
- 이상적분
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- 리만합과 정적분
분할과 리만합의 극한으로 정적분을 정의합니다. 넓이를 가정하지 않고 근사합의 극한을 넓이로 정의하는 순서를 세우며, 상합과 하합으로 적분가능성을 판정하고 디리클레 함수를 반례로 확인합니다.
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- 미적분의 기본정리
넓이함수를 미분하면 원래 함수가 되돌아옴을 보이고, 42강의 따름 정리로 계산 공식을 얻습니다. 정리를 쓸 수 없는 경우를 판정하고 라이프니츠 규칙으로 적분 한계가 함수인 경우를 다룹니다.
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- 치환적분
연쇄법칙을 거꾸로 읽습니다. 치환을 설계하는 기준을 세우고 삼각치환을 다루며, 정방향과 역방향에 필요한 조건이 다름을 반례로 밝힙니다.
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- 부분적분
곱의 미분법을 거꾸로 읽습니다. LIATE 순서로 나누기를 설계하고 순환형과 점화식을 처리하며, 테일러 정리의 적분형 나머지와 이산 대응물인 아벨 합공식까지 다룹니다.
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- 부분분수와 유리함수의 적분
분모를 인수분해해 쪼갭니다. 대수학의 기본정리로 어떤 유리함수든 반드시 적분된다는 완결성을 얻고, 결과가 유리함수·로그·아크탄젠트뿐임을 밝힙니다.
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- 이상적분
무한구간과 특이점으로 정의를 확장합니다. p-판정과 비교판정법을 세우고, 두 판정이 x=u1 치환으로 하나의 사실임을 보이며, 코시 주값과 조건수렴의 함정을 다룹니다.
- 정적분의 정의에서 노름을 통제했는가?
- 모든 표본점 선택에 대해 같은 값이 나오는지 확인했는가?
- 기본정리를 쓰기 전에 구간 전체의 연속성을 확인했는가?
- 적분 구간 안에 정의되지 않는 점이 없는지 확인했는가?
- 치환할 때 du가 식 안에 있는지 확인했는가?
- 정적분 치환에서 한계를 함께 바꿨는가?
- 역치환에서 새 변수의 범위를 명시했는가?
- 부분적분에서 바뀐 적분이 더 쉬워졌는가?
- 부분분수 분해 전에 진분수인지 확인했는가?
- 중복 인수에서 모든 차수의 항을 두었는가?
- 이상적분에서 두 조각이 각각 수렴하는지 확인했는가?
- 홀함수라는 이유로 성급히 0이라 답하지 않았는가?
- 정적분을 정의에서 계산하고 그 성질을 유도할 수 있습니다.
- 원시함수를 찾아 정적분을 계산하고 적용 조건을 판정할 수 있습니다.
- 치환, 부분적분, 부분분수를 상황에 맞게 골라 쓸 수 있습니다.
- 어떤 유리함수든 적분할 수 있습니다.
- 이상적분의 수렴과 발산을 판정할 수 있습니다.
- 어떤 적분이 초등함수로 표현되지 않는지 구별할 수 있습니다.
54강부터 시작하는 05단원 급수와 근사는 이 단원과 구조가 놀랄 만큼 닮았습니다. 무한히 많은 항을 더하는 문제인데, 54강의 수렴판정이 53강의 p-판정과 비교판정법을 거의 그대로 옮겨 씁니다. 실제로 적분판정법이 둘을 직접 잇습니다.
그리고 57강에서 어떤 함수든 다항식의 무한합으로 적을 수 있다는 결론에 도달하는데, 그 정리를 51강 심화 3에서 부분적분으로 이미 엿보았습니다. 49강 심화 3에서 초등 원시함수가 없다고 한 e−x2도 그때 급수로 적분됩니다.