이 책은 초등 산수만 알고 있어도 위에서 아래로 차례대로 읽으면 미적분학의 큰 흐름을 따라갈 수 있게 만든 교본입니다. 먼저 상황을 이해하고, 그다음에 낱말을 익히고, 마지막에 기호와 식을 붙입니다. 목표는 공식을 많이 외우는 것이 아니라, 변화와 누적을 다루는 수식이 무엇을 말하는지 끝까지 읽고 스스로 계산할 수 있는 힘을 만드는 것입니다.
이 교본은 새 커리큘럼에서 두 과목으로 갈라집니다. 한 변수 내용은 S3 미적분학 I(33~61강)이 되고, 다변수와 최적화 내용은 선형대수학을 마친 뒤에 읽는 S5 다변수 미적분과 최적화(93~120강)가 됩니다. 다변수 미분은 기울기 벡터와 야코비 행렬, 헤세 행렬로 표현되므로 선형대수학보다 먼저 배울 수 없습니다. S3에는 복소지수와 푸리에 단원이, S5에는 미분방정식과 흐름 단원이 새로 붙습니다. 전체 학습 순서는 00. 학습 순서와 커리큘럼에 있습니다.
- 함수와 극한이라는 미적분의 출발 언어를 다시 세웁니다.
- 미분으로 변화를 재고, 적분으로 누적을 재는 두 축을 순서대로 익힙니다.
- 급수, 다변수 미적분, 미분방정식까지 확장해, AI와 과학에서 만나는 해석학 언어를 읽습니다.
- 모든 강의에서 개념 바로 아래에 문제 드릴을 붙여, 읽은 즉시 손으로 계산해 확인합니다.
이 책의 강의는 개념을 먼저 나열하지 않습니다. 문제를 먼저 던지고, 그 문제를 푸는 과정에서 개념과 공식을 끌어냅니다. 공식은 외워야 할 대상이 아니라 방금 푼 풀이를 짧게 줄인 것입니다.
각 개념은 다음 다섯 단계로 진행합니다.
- 문제: 아직 배우지 않은 상황이 문제로 먼저 나옵니다.
- 생각의 실마리: 바로 풀리지 않을 때 붙잡을 질문을 줍니다. 풀이를 보기 전에 이 실마리로 한 번 더 시도합니다.
- 풀이: 답까지 가는 계산과 논리를 모두 적습니다.
- 이 문제에서 배우는 것: 방금 쓴 풀이를 일반화해 정의와 공식으로 정리합니다.
- 바로 확인: 같은 도구로 풀리는 변형 문제로 손에 붙입니다.
그 뒤에 종합 문제 드릴과 심화 문제가 이어지고, 단원 끝에서 문제집이 전체를 통합합니다. 순서대로 따라가기만 해도 이 과목의 개념과 문제 유형을 전부 익히도록 설계했습니다.
그래서 읽는 방법도 다음과 같습니다.
- 문제를 읽으면 풀이로 바로 내려가지 말고 반드시 먼저 손으로 풀어 봅니다. 틀려도 괜찮습니다. 스스로 시도한 뒤 풀이와 대조할 때 개념이 기억에 남습니다.
- 처음부터 끝까지 순서대로 읽습니다. 뒤 강의는 앞 강의의 말과 계산을 이미 알고 있다고 가정합니다.
- 모르는 기호가 나오면 바로 외우기보다 앞 문장과 예시를 먼저 읽습니다.
- 식이 나오면 먼저 말로 읽고, 그다음에 계산합니다.
- 각 개념 아래의 문제 드릴은 눈으로 보지 말고 손으로 풉니다. 답과 풀이는 스스로 푼 다음에 봅니다.
- 막히면 뒤로 더 가기보다 바로 앞 정의와 예시로 돌아옵니다.
- 함수와 극한
- 미분
- 미분의 응용
- 적분
- 적분의 응용
- 급수와 테일러
- 다변수 미분
- 다변수 적분
- 미분방정식 입문
이 순서는 변화를 재는 도구(미분)를 먼저 세우고, 그 반대 방향인 누적(적분)을 올린 뒤, 근사(급수)와 여러 변수(다변수), 그리고 변화의 법칙 자체를 다루는 미분방정식으로 확장하도록 배치했습니다.
- 함수를 입력과 출력의 관계로 읽고, 그래프의 언어를 정리합니다.
- 극한, 연속, 무한대라는 미적분의 기본 감각을 만듭니다.
- 순간변화율을 극한으로 정의하고, 도함수를 계산하는 법칙을 익힙니다.
- 곱·몫·연쇄법칙과 초월함수, 음함수·역함수 미분까지 다룹니다.
- 도함수로 극대·극소와 최적화를 풀고, 곡선의 개형을 읽습니다.
- 로피탈, 선형근사, 미분소로 미분을 실제 문제에 씁니다.
- 부정적분과 정적분을 정의하고, 미적분의 기본정리로 둘을 잇습니다.
- 치환, 부분적분, 부분분수, 삼각치환 같은 계산 기술을 익힙니다.
- 넓이, 부피, 곡선의 길이, 회전체 표면적을 적분으로 잽니다.
- 무한이 섞인 이상적분을 다룹니다.
- 수열과 급수의 수렴을 정의하고 판정법을 익힙니다.
- 멱급수와 테일러 전개로 함수를 다항식으로 근사합니다.
- 편미분, 기울기, 방향도함수로 여러 변수의 변화를 읽습니다.
- 연쇄법칙, 전미분, 라그랑주 승수로 제약 최적화를 다룹니다.
- 이중·삼중적분으로 넓이와 부피를 재고 좌표변환을 씁니다.
- 선적분·면적분과 그린·발산·스토크스 정리를 개관합니다.
- 1계·2계 미분방정식의 기본 풀이를 익힙니다.
- 연립 미분방정식과 응용 모델을 개관합니다.
- 먼저 이 강의에서 무엇을 할 수 있게 되는지 밝힙니다.
- 오늘 쓸 기호를 표로 정리합니다.
- 개념을 소절로 나누어 정의→유도→직관 순서로 설명하고, 소절 끝마다 문제 드릴을 붙입니다.
- 유형 총정리(치트시트)로 공식과 절차를 압축합니다.
- 종합 문제 드릴과 스스로 점검으로 마무리합니다.
- 정의는 필요가 보인 뒤에 나옵니다.
- 용어는 쓰이기 전에 먼저 설명합니다.
- 그래프는 설명 도구이지 출발점이 아닙니다.
- 계산은 중간식을 모두 적으며 따라갑니다. 도약하지 않습니다.
- 끝까지 읽어도 남는 것은 공식 암기가 아니라, 스스로 계산하고 읽는 습관이어야 합니다.
이 책을 끝내면 함수의 극한에서 출발해 미분, 적분, 급수, 다변수, 미분방정식까지를 하나의 흐름으로 읽고 계산할 수 있어야 합니다. 더 중요한 목표는 낯선 식을 보자마자 멈추지 않고, 먼저 말로 풀고, 왜 이런 식이 필요한지 이해한 뒤, 계산과 유도를 끝까지 따라갈 수 있는 습관을 몸에 붙이는 것입니다.